Question

escreva na forma final da equação algébrica de 4grau cujas raízes são 3,-1,1,0​

Answer 1

Resposta:

x⁴ - 3x³ - x² + 3x = 0

Explicação passo-a-passo:

Dada uma equação algébrica de quarto grau, podemos rpresentá-la assim:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx = e

Como 0 (zero) é uma das raízes, podemos dizer então

a(0) + b(0) + c(0) + d(0) = e

Portanto e = 0

a equação fica assim:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx = 0

Ou, fatornado,

x(ax³ - bx² + cx - d) = 0

Com isso, ou x = 0 ou (ax³ - bx² + cx - d) = 0

Então basta achar as raízes dessa equação: (ax³ - bx² + cx - d = 0)

Considere que as raízes desse polinômio são dadas por r₁, r₂ e r₃.  

b = r₁ + r₂ + r₃ (soma das raízes)

c = r₁.r₂ + r₁.r₃ + r₂.r₃ (soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas)

d = r₁.r₂.r₃ (produto das raízes).

De acordo com o que foi explicado acima, as raízes para essa "nova" equação de terceiro grau são r₁ = 3, r₂ = -1 e r₃ = 1.

b é igual a:

b = 3 - 1 + 1

b = 3

c é igual a:

c = 3.-1 + 3.1 + 1.-1

c = - 3 + 3 - 1

c = -1

d é igual a:

d = 3.-1.1  

d = -3

A equção polinomial fica:

ax³ - 3x² - x + 3 = 0

Se dividirmos esse polinômio por uma das raízes e igualarmos o resto a 0 (já que é raiz), acharemos o valor de a; usando a raiz 3, por exemplo:

Por Ruffini

a          -3          -1           3        |  3

a      -3+3a   -10+9a  -27+27a

portanto

-27 + 27a = 0

a = 1

A equação total fica:

x(x³ - 3x² - x + 3) = 0

x⁴ - 3x³ - x² + 3x = 0