Matemática, perguntado por GabriellyPernaM, 1 ano atrás

escreva as potências dadas de modo que elas sejam expressas em forma de radical:

A) 3 elevado a ½
B) 4 elevado a ⅔
C) 234 elevado a ¾
D) 32 elevado a cinco sétimos
E) 175 elevado a ⅜

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Gaper

211

Para reescrever as potências a seguir, precisamos lembrar de umas das propriedades da potenciação:

Potências com expoente racional

Quando uma potência apresenta o expoente fracionário, a base se transformará em uma raiz, onde o índice será o denominador da fração e o expoente do radicando será o numerador.

Exemplos:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

$2^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{2^3} = 2\sqrt{2}$

Potência de potência

Quando temos esse caso, onde há dois expoentes separados por um parênteses, devemos apenas multiplicar os expoentes:

$(a^m)^n = a^{m\cdot n}$

$(2^2)^3 = 2^{2\cdot 3} = 2^6 = 64$

Multiplicação de potências de mesma base

Quando temos duas potências de mesma base multiplicadas, conservamos a base e somamos os expoentes.

Exemplos:

$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$

$2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32$

Vamos resolver os itens:

a) $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$

O 2 do denominador passou para o índice da raiz, e como ela é uma raiz quadrada, não precisamos escrevê-lo.

b) $4^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{(2^2)^2} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^3\cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$

Uma dica para simplificar as raízes é fatorar o radicando. Se houver algum número primo cujo expoente seja o índice da raiz, você pode retirá-lo. Nesse caso, o 2³ saiu da raiz de índice 3.

$234^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{234^3} = \sqrt[4]{(2\cdot 3^2\cdot 13)^3} = \\\\\sqrt[4]{2^3\cdot 3^6\cdot 13^3} = \sqrt[4]{2^3\cdot 3^4\cdot 3^2\cdot 13^3} = 3\sqrt[4]{2^3\cdot 3^2\cdot 13^3}$

Você também pode representar esse resultado como $3\sqrt[4]{158184}$

$32^{\frac{5}{7}} = \sqrt[7]{32^5} = \sqrt[7]{(2^5)^5} = \sqrt[7]{2^{25}} =\\\\ \sqrt[7]{2^7\cdot 2^7\cdot 2^7\cdot 2^4} = 2^3\sqrt[7]{2^4} = 8\sqrt[7]{16}$