Question

escreva as equações reduzida e geral da reta que passa pelos ponto A ( -1,6) e B ( 2,3).

Answer 1

É sabido que a equação geral da reta se situa na forma:

$\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\quad\boldsymbol{\sf ax+by+c=0}\quad \\ \\ \end{array}}}$

Para encontrar a equação reduzida basta isolar a incógnita y:

$\begin{array}{l}\sf ax+by+c=0\\\\\sf by=-ax-c\\\\\sf y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\\\\\sf Assim\quad m=-\dfrac{a}{b}\quad e\quad n=- \dfrac{c}{b}\end{array}$

Dessa forma a equação reduzida da reta fica nesta forma:

$\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\quad\boldsymbol{\sf y=mx+n}\quad \\ \\ \end{array}}}$

Bom, assim podemos encontrar a equação geral da reta primeiro, e logo em seguida a equação reduzida

Uma das formas, é pelo determinante de uma matriz 3x3 formada a partir dos pontos, veja:

$\begin{array}{l}\begin{vmatrix}\sf x&\sf y&\sf 1\\\sf x_1&\sf y_1&\sf 1\\\sf x_2&\sf y_2&\sf 1\end{vmatrix}=0\\\\\end{array}$

• Observe que nesta matriz, na primeira linha temos (x , y) [um ponto qualquer, genérico], e nas próximas duas linhas temos os pontos (x₁ , y₁) e (x₂ , y₂)
• Perceba que, para a matriz ser 3x3, a terceria coluna foi completada com números um
• E tambem toda a matriz foi igualada a zero

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RESOLUÇÃO

Dado os pontos A(–1 , 6) e B(2 , 3), obtemos a matriz:

$\begin{array}{l}\begin{vmatrix}\sf x&\sf y \: \: &\sf 1 \: \: \: \\\sf -1\:\:\:&\sf 6 \: \: &\sf 1 \: \: \: \\\sf 2&\sf 3 \: \: &\sf 1 \: \: \: \end{vmatrix}=0\end{array}$

Pela Regra de Sarrus: repita as duas colunas iniciais ao lado da matriz, some o produto de uma diagonal (principal), e subtraia da soma do produto de outra diagonal (secundária)

$\begin{array}{l}\begin{vmatrix}\sf x&\sf y \: \: &\sf 1 \: \: \: \\\sf -1\:\:\:&\sf 6 \: \: &\sf 1 \: \: \: \\\sf 2&\sf 3 \: \: &\sf 1 \: \: \: \end{vmatrix}\begin{matrix}\sf x&\sf y \: \: \\\sf -1\:\:\:&\sf 6 \: \: \\\sf 2&\sf 3 \: \: \end{matrix}=0\\\\ \sf x.6.1 + y.1.2 + 1.( - 1).3- [1.6.2 + x.1.3 + y.( - 1).1]=0\\\\\sf 6x+2y-3-[12+3x-y]=0\\\\\sf 6x+2y-3-12-3x+y=0\\\\\!\boxed{\sf 3x+3y-15=0}\sf ~\to~Eq.~geral\\\\\sf 3y=-3x+15\\\\\sf y=-\dfrac{\diagdown\!\!\!\!3x}{\diagdown\!\!\!\!3}+\dfrac{15}{3}=0\\\\\!\boxed{\sf y=-x+5}\sf ~\to~Eq.~reduzida \\\\\end{array}$

RESPOSTA FINAL:

Equação geral da reta: 3x + 3y – 15 = 0

Equação reduzida da reta: y = – x + 5

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Att. Nasgovaskov

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