Question

escreva as equações paramétricas e simetrica da reta r:(x,y,z)=(1,2,-1)+t.(1,1,3)

Answer 1

As equações paramétricas e simétricas da reta r são:

x = 1 + t

y = 2 + t

z = -1 + 3.t

t = x - 1

t = y - 2

t = (z + 1)/3

Dada a reta de equação r:(x,y,z) = (1,2,-1) + t.(1,1,3), podemos encontrar as equações paramétricas simplesmente equacionando cada coordenada:

x = 1 + t

y = 2 + t

z = -1 + 3.t

A partir das equações paramétricas, podemos encontrar as equações simétricas ao isolar t em cada equação, logo

t = x - 1

t = y - 2

t = (z + 1)/3

Agora, basta igualar as equações:

x - 1 = y - 2 = (z + 1)/3

Answer 2

✅ Após ter resolvido os cálculos, concluímos que a equação simétrica da reta "r" é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: x - 1 = y - 2 = \frac{z + 1}{3} \:\:\:}} \end{gathered} }$

Seja a equação vetorial da reta "r":

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: (x, y, z) = (1, 2, -1) + t(1, 1, 3) \end{gathered}$

Se pretendemos encontrar a equação paramétrica da reta "r", devemos montar o seguinte sistema:

          $\Large\begin{cases}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = -1 + 3t \end{cases}\Large\displaystyle\begin{gathered}com\:t\in\mathbb{R} \end{gathered}$

Só será possível a montagem da equação simétrica a partir de uma equação vetorial se, e somente se, todas as coordenadas do vetor diretor for diferente de "0". A partir deste pressuposto, devemos isolar o parâmetro "t" em cada uma das equações paramétricas, ou seja:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}x = 1 + t\Longrightarrow x - 1 = t\end{gathered}$

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = 2 + t\Longrightarrow y - 2 = t \end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}z = -1 + 3t\Longrightarrow z + 1 = 3t\Longrightarrow \frac{z + 1}{3} = t \end{gathered}$

✅ Sabendo que, os parâmetros "t" são iguais, então podemos montar a seguinte equação simétrica da reta:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: x - 1 = y - 2 = \frac{z + 1}{3} \end{gathered}$

Saiba mais:

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