Question

Escreva as equações paramétricas da reta que contém o ponto (1, 2) e faz com a reta y = -2x + 4 um ângulo de 60◦

Answer 1

Olá, Iramaia87.

O coeficiente angular da reta y = -2x + 4 é -2.
Os coeficientes angulares $m_1$ e $m_2$ das retas que fazem ângulo de 60º com ela são obtidos da seguinte forma:

$\tan60\º=\left|\frac{-2-m}{1+(-2)\cdot m}\right|\Rightarrow\sqrt3=\left|\frac{-(2+m)}{-(-1+2m)}\right|=\left|\frac{2+m}{2m-1}\right|\Rightarrow\\\\\frac{2+m}{2m-1}=\pm\sqrt3\Rightarrow$

$(i)\,2\sqrt3m_1-\sqrt3=2+m_1\Rightarrow(2\sqrt3-1)m_1=2+\sqrt3\Rightarrow\\\\\boxed{m_1=\frac{2+\sqrt3}{2\sqrt3-1}}$

$(ii)\,-2\sqrt3m_2+\sqrt3=2+m_2\Rightarrow(-2\sqrt3-1)m_2=2-\sqrt3\Rightarrow\\\\\boxed{m_2=\frac{\sqrt3-2}{2\sqrt3+1}}$

No ponto (1,2) temos os seguintes coeficientes lineares $p_1$ e $p_2$:

$(i)\,y=m_1x+p_1\Rightarrow 2=\left(\frac{2+\sqrt3}{2\sqrt3-1}\right)\cdot1+p_1\Rightarrow\boxed{p_1=2-\frac{2+\sqrt3}{2\sqrt3-1}}$

$(ii)\,y=m_2x+p_2\Rightarrow 2=\left(\frac{\sqrt3-2}{2\sqrt3+1}\right)\cdot1+p_2\Rightarrow\boxed{p_2=2-\frac{\sqrt3-2}{2\sqrt3+1}}$

As equações das retas são, portanto:

$(i)\,y=\left(\frac{2+\sqrt3}{2\sqrt3-1}\right)x+2-\frac{2+\sqrt3}{2\sqrt3-1}=\boxed{\left(\frac{2+\sqrt3}{2\sqrt3-1}\right)(x-1)+2}$

$(ii)\,y=\left(\frac{\sqrt3-2}{2\sqrt3+1}\right)x+2-\frac{\sqrt3-2}{2\sqrt3+1}=\boxed{\left(\frac{\sqrt3-2}{2\sqrt3+1}\right)(x-1)+2}$

As equações paramétricas são, portanto:

$(i)\,\boxed{\begin{cases}x=t+1\\y=\left(\frac{2+\sqrt3}{2\sqrt3-1}\right)t+2\end{cases}}$

$(ii)\,\boxed{\begin{cases}x=t+1\\y=\left(\frac{\sqrt3-2}{2\sqrt3+1}\right)t+2\end{cases}}$

Answer 2

Resposta:

perguei a resposta do professor

segue em anexo: