Escreva as equações a seguir na forma (x − a)² + (y − b)² = r² determinando o centro e o raio das circunferências.
(a) x² + y² − 4x − 6y = 0;
Soluções para a tarefa
Resposta:
Centro ( 2 ; 3 ) e raio √13
( em anexo 1 tem o gráfico de x² + y² − 4x − 6y = 0 )
( em anexo 2 tem o gráfico de ( x - 2 )² + ( y - 3 )² = ( √13 )² )
E são idênticos.
Explicação passo a passo:
Observação 1 → Equação Reduzida da Circunferência
A equação reduzida da circunferência é do tipo:
(x − a)² + (y − b)² = r²
Onde ( a ; b ) são as coordenadas do centro da circunferência e " r " o raio.
Observação 2 → Equação Geral da Circunferência
É do tipo desta aqui:
x² + y² − 4x − 6y = 0
Primeiro o termo em x² ; depois o em y² ; depois o termo em x ;
a seguir o termo em y ; no fim o termo sem x nem y
Aqui estão a pedir que se faça a passagem da Equação Geral para a
Equação Reduzida.
Existe um método a que se chama " Completar o quadrado"
Colocamos:
( x² - 4x + ( - 4 /2 )² ) + ( y² - 6y + ( - 6/2 )² )- ( - 4 /2 )² - + ( - 6/2 )² = 0
Em 1º lugar fica o termo em x²
seguido
do termo em " x "
seguido
de o" quadrado de metade do coeficiente do termo em x "
Fazemos idêntico raciocínio para " y "
Repare que adicionamos dois novos termos.
Com isto estamos a modificar a equação.
E não queremos que ela se modifique.
Por isso no fim do 1º membro , subtraímos os valores adicionados.
( x² - 4x + 2² ) + ( y² - 6y + 3² ) - 2² - 3² = 0
Mas
( x² - 4x + 2² ) = ( x - 2 )² quadrado completado
e
( y² - 6y + 3² ) = ( y - 3 )² quadrado completado
( x - 2 )² + ( y - 3 )² - 4 - 9 = 0
( x - 2 )² + ( y - 3 )² - 13 = 0
( x - 2 )² + ( y - 3 )² = 13
O termo do segundo membro não está elevado ao quadrado. E precisa.
Então colocámos o quadrado de raiz quadrada de 13.
( x - 2 )² + ( y - 3 )² = ( √13 )² ( gráfico no anexo 2 )
Circunferência de Centro ( 2 ; 3 ) e raio √13
Como pode ver os gráficos representam a mesma figura.
Bons estudos.
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( * ) multiplicação ( rq ) raiz quadrada ( sqr ) raiz quadrada em Inglês
