Question

escreva arctan x=1.arctan x para encontrar a integral de arctan x dx

Answer 1

Trata-se de uma estratégia usual para determinar o integral de $\arctan$. Escrevendo como sugerido $\arctan x = 1 \arctan x$, integramos por partes, tomando $u \equiv \arctan x \implies \textrm{d}u = \dfrac{\textrm{d}x}{1+x^2}$ e $\textrm{d}v = \textrm{d}x \implies v = x$:

$\displaystyle\int \arctan x \textrm{ d}x = \int u \textrm{ d}v= uv - \int v\textrm{ d}u.$

Assim:

$\displaystyle \int \arctan x \textrm{ d}x = x\arctan x- \int \dfrac{x}{1+x^2}\textrm{ d}x.$

Para o integral do lado direito, usamos $t \equiv x^2 +1 \implies \textrm{d}t = 2x\textrm{ d}x$, donde:

$\displaystyle\int \dfrac{x}{1+x^2}\textrm{ d}x = \dfrac{1}{2}\int \dfrac{\textrm{d}t}{t} = \dfrac{1}{2}\ln|t| + C = \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$

onde $C\in\mathbb{R}$ é uma constante de integração. Assim, o integral desejado é:

$\displaystyle \boxed{\int\arctan x \textrm{ d}x = x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + C}.$