Question

Escreva a PA onde: a2+a5=5 e a4+a7=17

Answer 1

$a_2+a_5=5 \\ \\ a_2=a_1+r \\ a_5=a_1+4r \\ \\ a_1+r+a_1+4r=5 \\ 2a_1+5r=5 \\ --------------------------- \\ a_4+a_7=17 \\ \\ a_4=a_1+3r \\ a_7=a_1+6r \\ \\ a_1+3r+a_1+6r=17 \\ 2a_1+9r=17 \\ ------------ \\ \\ Sistema \\ \\ 2a_1+5r=5 ~~(I)\\ 2a_1+9r=17~~(II) \\ \\ multiplica~~(I)~~por~~(-1) \\ \\ -2a_1-5r=-5 \\~~~~ 2a_1+9r=17 \\ ------- \\ 4r=12 \\ r=12\div4 \\ \\ \fbox{ r=3 }$ 

substituir r para calcular a1

$2a_1+5r=5 \\ 2a_1+5(3)=5 \\ 2a_1=5-15 \\ 2a_1=-10 \\ a_1=-10\div2 \\ \\ \fbox{ a_1=-5 }$ 

logo a P.A é (-5 ,-2 ,1 ,4 ,7 ,10 ,13)

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Aline, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se para escrever uma PA na qual dispõem-se das seguintes informações:

a₂ + a₅ = 5
e
a₄ + a₇ = 17.

ii) Note que qualquer termo de uma PA poderá ser obtido com a utilização da fórmula do termo geral de uma PA, que é dada assim:

a ̪ = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima "a ̪"  é o termo que queremos encontrar. Por sua vez, "a₁" é o primeiro termo. Por seu turno "n" é o número de termos da PA. E, finalmente "r" é o valor da razão da PA.

iii) Assim, como você poderá notar, fica fácil de saber que:

a₂ = a₁ + r
a₅ = a₁ + 4r

e que:

a₄ = a₁ + 3r
a₇ = a₁ + 6r.

iii) Sabendo disso, então teremos que:

a₂ + a₅ = 5 ---- após substituirmos "a₂" e "a₅" por seus valores obtidos pela fórmula do termo geral, será equivalente a:

a₁+r + a₁+4r = 5 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
2a₁ + 5r = 5        . (I)

e

a₄ + a₇ = 17 ---- será equivalente a:

a₁+3r + a₁+6r = 17 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
2a₁ + 9r = 17       . (II)

iv) Veja que agora ficamos com um sistema de equações formado pelas expressões (I) e (II) e que são:

{2a₁ + 5r = 5         . (I)
{2a₁ + 9r = 17       . (II)

Faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "-1" e, em seguida somaremos, membro a membro, com a expressão (II). Assim, fazendo isso, teremos:

-2a₁ - 5r = - 5 --- [esta é a expressão (I) multiplicada por "-1"]
2a₁ + 9r = 17 --- [esta é a expressão (II) normal]
------------------------------- somando-se membro a membro, teremos;
0  +  4r = 12 --- ou apenas:
4r = 12
r = 12/4
r = 3 <--- Este será o valor da razão da PA da sua questão.

Agora, para encontrar o valor do primeiro termo (a₁) iremos em quaisquer uma das expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "r" por "3". Vamos na expressão (I), que é esta:

2a₁ + 5r = 5 ---- substituindo-se "r" por "3", teremos;
2a₁ + 5*3 = 5
2a₁ + 15 = 5
2a₁ = 5 - 15
2a₁ = - 10
a₁ = -10/2
a₁ = - 5

v) Assim, como já temos que a₁ = -5 e que r = 3, então agora vamos escrever a PA da sua questão. Basta que, a partir do primeiro termo (a₁ = -5) irmos somando a razão (r = 3) para encontrarmos os demais termos. Veja:

a₁ = - 5
a₂ = -5 + 3 = - 2
a₃ = -2 + 3 = 1
a₄ = 1 + 3 = 4
a₅ = 4 + 3 = 7
a₆ = 7 + 3 = 10
a₇ = 10 + 3 = 13
a₈ = 13 + 3 = 16
a₉ = 16 + 3 = 19
-----------------------
-----------------------
E assim sucessivamente.

Agora vamos escrever a PA com os termos que vimos aí em cima. Assim a PA da sua questão será esta:

(-5; -2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; .....} <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a PA da sua questão.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver se é isso mesmo.

- Tem-se que a₂ + a₅ = 5 --- vendo na PA tem-se que a₂ = -2 e a₅ = 7. Logo:

-2 + 7 = 5
5 = 5 ----- Perfeito. Fechou.

- Tem-se que a₄ + a₇ = 17 ---- vendo na PA tem-se que a₄ = 4 e a₇ = 13. Logo:

4 + 13 = 17
17 = 17 ---- Perfeito. Fechou também.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.