Question

Escreva a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas.
A)0,333...
B)0,131313...
C)1,222...
D)0,3222...
E) 1,25131313....

Answer 1

A)0,333... => 3/9

B)0,131313... => 13/99

C)1,222... => 12-1=11/9

D)0,3222... => 32-3=29/90

E) 1,25131313... => 12513-125=12388/9900

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Isabela, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para escrever as frações geratrizes das dízimas periódicas elencadas a seguir.

Antes de iniciar, veja que há um método prático e seguro para você encontrar frações geratrizes de quaisquer dízimas periódicas.
Esse método se resume no seguinte: primeiro você iguala a dízima periódica dada a um certo "x". Depois multiplica "x' por uma ou mais potências de 10 de tal modo que, após algumas operacionalizações, tenhamos feito desaparecer o período (o período, em dízimas periódicas, é aquela parte que se repete. Daí o nome: dízima periódica).
Sabendo disso, então vamos encontrar cada dízima periódica proposta na sua questão.

a) 0,3333..... ----- vamos igualá-la a "x". Assim:

x = 0,3333...... ---- vamos multiplicar "x' por "10", ficando:
10*x = 10*0,33333...
10x = 3,33333......

Agora vamos subtrair "x" de "10x" e você vai ver que teremos feito desaparecer o período (que é o que queremos). Fazendo isso, temos:

10x = 3,33333....
- x = - 0,33333.....
------------------------------ subtraindo membro a membro, ficamos:
9x = 3,00000...... --- ou apenas (veja como fizemos desaparecer o período):
9x = 3
x = 3/9 ---- simplificando-se numerador e denominador por "3", temos;
x = 1/3 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a". Ou seja esta é a fração geratriz da dízima periódica 0,3333........


b) 0,131313........ ------ vamos igualar a "x", ficando:

x = 0,131313....... ---- vamos multiplicar "x' por "100", ficando:
100*x = 100*0,131313....
100x = 13,131313......

Agora subtrairemos "x" de "100x" e você vai ver que teremos feito desaparecer o período (que é o que queremos). Assim:

100x = 13,131313.....
... - x ..- 0,131313.........
------------------------------------ subtraindo membro a membro, teremos:
99x = 13,00000...... ou apenas (veja que fizemos desaparecer o período):
99x = 13
x = 13/99 <---- Esta é a resposta para a questão do item "b". Ou seja, esta é a fração geratriz da dízima periódica 0,131313.......

c) 1,22222...... ---- vamos igualar a "x", ficando:

x = 1,22222...... ---- vamos multiplicar "x' por "10", ficando:
10*x = 10*1,22222....
10x = 12,222222......

Agora vamos subtrair "x' de "10x", ficando:

10x = 12,222222...
..- x = - 1,222222
---------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
9x = 11,00000.... --- ou apenas (veja que fizemos desaparecer o período):
x =11/9 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c". Ou seja, esta é a fração geratriz da dízima periódica 1,22222.......

d) 0,3222222...... ----- vamos igualar a "x", ficando:

x = 0,322222........

Agora faremos o seguinte: multiplicaremos "x" por "10" e depois multiplicaremos "x' por "100". Assim, teremos:

10*x = 10*0,322222...
10x = 3,222222.....

Agora multiplicaremos "x' por "100". Assim:

100*x = 100*0,3222222......
100x = 32,222222.........

Agora faremos a subtração de "10x" de "100x" e você vai ver que teremos feito desaparecer o período (que é o que queremos). Assim:

100x = 32,222222......
- 10x = -3,222222.....
------------------------------------ subtraindo membro a membro, temos:
90x = 29,00000.... Ou apenas (veja que fizemos desaparecer o período):
90x = 29
x = 29/90 <--- Esta é a resposta para a questão do item "d". Ou seja, esta é a fração geratriz da dízima periódica 0,3222222........

e) 1,2513131313...... ---- vamos igualar a "x", ficando:

x = 1,2513131313......

Faremos o seguinte: multiplicaremos "x" primeiro por "10.000" e depois multiplicaremos o mesmo "x" por "100". Assim, teremos:

10.000*x = 10.000*1,2513131313...
10.000x = 12.513,13131313131.....

e

100*x = 100*1,25131313131...
100x = 125,13131313......

Agora subtrairemos "100x" de "10.000x", com o que ficaremos:

10.000x = 12.513,13131313....
...- 100x =    - 125,1313131313.....
---------------------------------------------------- subtraindo membro a membro,temos:
9.900x = 12.388,00000....u apenas (veja que fizemos desaparecer o período)
9.900x = 12.388
x = 12.388/9.900 --- simplificando-se numerador e denominador por 4, temos:

x = 3.097/2.475 <---- Esta é a resposta para a questão do item "e". Ou seja, esta é  a fração geratriz da dízima periódica 1,2513131313......

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.