Question

escreva a forma fatorada de cada um dos seguintes polinomios:
a) b2-ab-b
b) 24x5- 8x4- 56x3
c) a7+ a5+ a3
d) 120ax3- 100ax2+60ax
e) 1/8 ab + 1/4 a2b- 1/2 ab2

Answer 1

a)b(b-a-1)
b)8x^3(4x^2-x-7)
c)a^3(a^4+a^2+1)
d)20ax(6x^2-5x+3)
e)1/2ab(1/4+1/2a-b)

Answer 2

A fatoração de cada polinômio é a seguinte:

• $b(b-a-1)$
• $8x^3(3x^2-x-7)$
• $a^3(a^2+a+1)(a^2-a+1)$
• $20ax(6x^2-5x+3)$
• $\frac{ab}{2} (\frac{1}{4} +\frac{a}{2} -b)$

Fatoração de polinômios

Para aplicar a fatoração de polinômios, deve-se considerar a propriedade distributiva de polinômios, em particular, usando-a três vezes no produto de dois binômios, obtemos:

                                           $\displaystyle ( a+b)( c+d) =a( c+d) +b( c+d) =ac+ad+bc+bd$

Isso nos diz que multiplicamos os dois fatores multiplicando cada termo de um fator por cada termo do outro fator e somando esses produtos. Em geral, podemos multiplicar duas expressões algébricas usando a Propriedade Distributiva e as Leis dos Expoentes.

A lei dos expoentes propõe o seguinte: Definimos que as bases a e b são números reais e os expoentes m e n são inteiros. Então:

$\displaystyle \begin{array}{{ > {\displaystyle}l}}1.\ a^{m} a^{n} =a^{m+n}\\\\2.\ \frac{a^{m}}{a^{n}} =a^{m-n}\\\\3.\ \left( a^{n}\right)^{m} =a^{n*n}\\\\4.\ ( ab)^{n} =a^{n} b^{n}\\\\5.\ \left(\frac{a}{b}\right)^{n} =\frac{a^{n}}{b^{n}}\end{array}$

1. Para multiplicar duas potências do mesmo número, some os expoentes.
2. Para dividir duas potências do mesmo número, subtraia os expoentes.
3. Para elevar uma potência a uma nova potência, multiplique os expoentes.
4. Para elevar um produto a uma potência, eleve cada um dos fatores à potência.
5. Para elevar um quociente a uma potência, eleve o numerador e o denominador de potência.

Finalmente, devemos nos atentar ao produto notável, estes são os produtos frequentes:

1. Soma e produto de termos iguais: $\displaystyle ( A+B)( A-B) =A^{2} -B^{2}$
2. Quadrado de uma soma: $\displaystyle ( A+B)^{2} =A^{2} +2AB+B^{2}$
3. Quadrado de uma diferença: $\displaystyle ( A-B)^{2} =A-2AB+B^{2}$

A ideia-chave ao usar essas fórmulas (ou qualquer outra fórmula em álgebra) é o Princípio da Substituição: podemos substituir qualquer expressão algébrica por qualquer letra em uma fórmula.

Usamos a Propriedade Distributiva para expandir expressões algébricas. Às vezes precisamos reverter esse processo (novamente usando a Propriedade Distributiva) fatorando uma expressão como produto de outras mais simples.

Podemos resolver o solicitado:

• a) $b^2-ab-b$

Neste caso, obteremos apenas o fator comum b

$b(b-a-1)$

• b)$24x^5-8x^4-56x^3$

Aqui temos  e a variável ao cubo

$8x^3(3x^2-x-7)$

• c) $a^7+a^5+a^3$

Neste caso temos como fator comum um cubo e vemos que também podemos continuar decompondo o polinômio como soma e produto de termos iguais

$a^3(a^4+a^2+1)$

nós sabemos:   $\displaystyle ( a+b)( a-b) =a^{2} -b^{2}$

dizemos: $a=a^2+1\\b=a$

então:

$a^3(a^4+a^2+1)=a^3(a^2+a+1)(a^2-a+1)$

Se você aplicar a propriedade distributiva, o resultado anterior atinge sua origem.

• d)$\frac{1}{8} ab+\frac{1}{4} a^2b-\frac{1}{2} ab^2$

Temos como fator comum duas variáveis ​​a e b e uma constante.

$\frac{ab}{2} (\frac{1}{4} +\frac{a}{2} -b)$

De fato, uma forma de verificar se a fatoração está correta é aplicar a propriedade distributiva a todos os resultados e o resultado deve ser o polinômio original, caso contrário eles devem ter algum erro.

Se você quiser ver outro exemplo de fatoração de polinômios, você pode ver este link:

https://brainly.com.br/tarefa/47591061

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