Question

Escreva a expressão x⁶+x⁴+x²y²+y⁴-y⁶ como produto de três fatores.​

Answer 1

Primeiro, vamos tentar identificar na expressão alguma fatoração notável. Observe que:

x⁶- y⁶ = (x³-y³)(x³+y³)

x⁶- y⁶ = (x-y)(x²+xy+y²)(x+y)(x²-xy+y²)

Veja também que você pode fatorar diretamente:

x⁴ + x²y² + y⁴

Primeiro somamos e subtraímos x²y², podemos fazer isso já que somar e subtrair o mesmo numero corresponde a somar zero.

x⁴ + 2x²y² + y⁴ - x²y²

Os termos positivos são um quadrado perfeito:

(x²+y²)² - (xy)²

Agora temos uma diferença de quadrados:

(x²+y² -xy)(x²+y²+xy)

Assim:

x⁶+x⁴+x²y²+y⁴- y⁶ = x⁶-y⁶ + x⁴+x²y² + y⁴

(x²-y²)(x⁴+x²y² + y⁴) + (x⁴+x²y² + y⁴)

(x²-y² + 1)(x⁴+x²y² + y⁴)

(x²-y²+1)(x²+xy+y²)(x²-xy+y²)

Resposta: (x²-y²+1)(x²+xy+y²)(x²-xy+y²)

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