Question

Escreva a expressão x6+x4+x2y2+y4−y6 como produto de três fatores. (Preciso de uma explicação)

Answer 1

Vamos utilizar três identidades algébricas notáveis (listarei abaixo):

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^2-b^2=(a+b)(a-b)


A expressão algébrica em questão é a seguinte:

x^6+x^4+x^2y^2+y^4-y^6

Vamos manipular algebricamente a expressão acima,de modo a transformá-la em um produto,ou seja,fatorá-la; com isso temos:

x^6+x^4+x^2y^2+y^4-y^6=
x^6-y^6+x^4+x^2y^2+y^4=
(x^2)^3-(y^2)^3+(x^4+x^2y^2+y^4)=
(x^2-y^2)((x^2)^2+x^2y^2+(y^2)^2)+(x^4+x^2y^2+y^4)=
(x^2-y^2)(x^4+x^2y^2+y^4)+(x^4+x^2y^2+y^4)=
(x^4+x^2y^2+y^4)[(x^2-y^2)+1]=
(x^4+x^2y^2+y^4)(x^2-y^2+1)


Vamos transformá-la em um produto de dois fatores,com isso temos:

x^6-y^6+x^4+x^2y^2+y^4=
(x^3)^2-(y^3)^2+(x^4+x^2y^2+y^4)=
(x^3+y^3)(x^3-y^3)+(x^4+x^2y^2+y^4)=
(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)+(x^4+x^2y^2+y^4)=
(x+y)(x-y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)+(x^4+x^2y^2+y^4)=
(x+y)(x-y)(x^4+x^2y^2+y^4)+(x^4+x^2y^2+y^4)=
(x^4+x^2y^2+y^4)[(x+y)(x-y)+1]=
(x^4+x^2y^2+y^4)(x^2-y^2+1)




Abraços!!!