Question

Escreva a equação reduzida da parábola com vértice V(0,0) e foco F(4,0).

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{x=\dfrac{y^2}{16}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão de cônicas, devemos relembrar algumas propriedades das parábolas.

As parábolas, nos estudos das cônicas, são o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da reta diretriz. A depender de algumas informações, podemos descobrir para qual lado está voltada sua concavidade e por conseguinte, escolher qual equação representa este caso.

O enunciado nos disse que o vértice está em $V~(0,~0)$ e o foco em $F~(4,~0)$. Isto significa que se encaixa em um caso onde o foco está nas coordenadas $\left(x_v+\dfrac{p}{2},~y_v\right)$, logo sua concavidade está voltada para a direita.

Sabemos que quando a concavidade da parábola está voltada para a direita, sua equação reduzida será da forma $(y-y_v)^2=2p\cdot (x-x_v)^2$.

Lembrando que o $p$ citado acima é chamado de parâmetro, se trata da distância entre o foco e a reta diretriz.

Comparando as informações que temos com as coordenadas genéricas do foco nestas condições, descobrimos que

$x_v+\dfrac{p}{2}=4$

Substitua a coordenada de $x_v$

$0+\dfrac{p}{2}=4$

Some e multiplique ambos lados por 2

$p=8$

Agora, podemos substituir as informações na equação reduzida

$(y-0)^2=2\cdot8\cdot(x-0)^2$

Some os termos dentro dos parênteses e multiplique os valores

$y^2=16x$

Isole $x$

$x=\dfrac{y^2}{16}$

Esta é a equação reduzida desta parábola.