Question

Escreva a equação reduzida da circunferência que tem os pontos A=(3, 5) e B=(-1, 1) como extremidade de um diâmetro *


a) (x + 1)² + y²= 2√2

b) (x - 1)² + (y - 3)²= 8

c) (x - 2)² + (y - 1)²= 4

d) N.D.A

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Answer 1

1º Vamos achar o raio. Se a reta AB são as extremidades do diâmetro, então a distância entre A e B vale 2.R, logo :

$\sqrt{( 3-(-1))^2+(5-1)^2} = 2.R$

$\sqrt{( 4)^2+(4)^2} = 2.R$

$\sqrt{2.(4)^2} = 2.R \to 4\sqrt{2} = 2.R$

$\boxed{R = 2\sqrt{2}}$

2º Vamos achar a equação da circunferência :

$( \text x_c - \text x)^2 +(\text y_c - \text y)^2 = R^2$

substituindo os pontos A(3,5) e B(-1,1) e $R = 2\sqrt{2}$:

$( \text x_c - 3)^2 +(\text y_c - 5)^2 = (2\sqrt{2})^2$

$( \text x_c - (-1))^2 +(\text y_c - 1)^2 = (2\sqrt{2})^2$

Desenvolvendo e resolvendo o sistema :

$\text x_c^2 + \text y_c^2 -6\text x_c - 10\text y_c + 34 = 8$

$\text x_c^2 + \text y_c^2 +2\text x_c -2\text y_c + 2 = 8$

subtraindo a 1ª da 2 ª :

$2\text x_c + 6\text x_c -2\text y_c +10\text y_c -32 = 0$

$8\text x_c +8\text y_c =32$

$\text x_c +\text y_c =4 \to \boxed{\text y_c=4-\text x_c}$

Substituindo na 1ª equação lá em cima :

$( \text x_c - 3)^2 +(4-\text x_c - 5)^2 = (2\sqrt{2})^2$

$( \text x_c - 3)^2 +(-\text x_c - 1)^2 = 8$

$\text x_c^2 - 6\text x_c + 9 +\text x_c^2+2\text x_c+1 = 8$

$2\text x_c^2 -4\text x_c +2 = 0$

$\text x_c^2 -2\text x_c +1 = 0$

$(\text x_c-1)^2 = 0 \to \boxed{\text x_c =1}$

e

$\text y_c = 4 - \text x_c \to \boxed{\text y = 3}$

Equação da circunferência :

$\huge\boxed{(\text x-1)^2+(\text y-3)^2=8}$

Letra B

Obs : Depois te ter achado o R² = 8. Você já poderia marcar de cara a letra B, já que é a única alternativa R² = 8.

Mas ta aí a conta, caso queiro entender tudo e tals