Question

Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C (– 3, 6) e diâmetro = 8. 1 ponto a) (x + 3)² + (y – 6)² = 16 b) (x - 3)² + (y – 6)² = 16 c) (x + 3)² + (y – 6)² = 64 d) (x + 3)² + (y + 6)² = 16

Answer 1

Resposta:

vamos la

Explicação passo-a-passo:

Explicação passo-1.i) Agora veja: tendo a relação (I) acima como parâmetro, então vamos substituir nela o  "a" por "-2", o "b" por "3" e o  "r" por 4. Fazendo isso, teremos:

(x-(-2))² + (y-3)² = 4² ------ desenvolvendo, teremos:

(x+2)² + (y-3)² = 16 ----- esta é a equação reduzida da circunferência da 1ª questão. Para encontrar a equação geral, vamos desenvolver a expressão acima, ficando:

x²+4x+4 + y²-6y+9 = 16 ------ passando "16" para o 1º membro, teremos:

x²+4x+4 + y²-6y+9 - 16 = 0 ----- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, temos:

x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0 <--- Esta é a resposta para a 1ª questão. Ou seja, esta é a equação geral da circunferência que tem centro em C(-2; 3) e raio = 4.

2ª questão: Dados os pontos A(-5; 2) e B(1; 4), escreva a equação reduzida da circunferência cujo diâmetro é o segmento AB acima.

2.i) Agora veja: se o segmento AB é o diâmetro e considerando que o raio sempre é a metade do diâmetro, então vamos logo saber qual é a medida do diâmetro. Para isso, calcularemos a distância (d) do ponto A(-5; 2) ao ponto B(1; 4). Fazendo isso, teremos:

d² = (1-(-5))² + (4-2)²

d² = (1+5)² + (4-2)²

d² = (6)² + (2)²

d² = 36 + 4

d² = 40

d = ± √(40) ----- note que 40 = √(2²*10). Logo:

d = ±  √(2².10) ----- como o "2" está elevado ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada, ficando:

d = ±  2√(10) ------ e como o diâmetro não pode ter medida negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = 2√(10) <--- Esta é a medida do diâmetro da circunferência da 2ª questão.

2.ii) E, como o raio sempre é a metade do diâmetro, então o raio da circunferência da 2ª questão será:

r = 2√(10) / 2 ----- simplificando-se numerador e denominador por "2", ficaremos com:

r = √(10) <--- Esta é a medida do raio da circunferência da 2ª questão.

2.iii) Agora vamos encontrar o centro da circunferência da 2ª questão. Para isso, basta que encontremos o ponto médio do segmento AB, com A(-5; 2) e B(1; 4). Assim, chamando de "C" o ponto médio do segmento acima, teremos [lembre-se que o ponto médio de A(xa; ya) e B(xb; yb) é dado assim: M[(xa+xb)/2; (ya+yb)/2]:

C[(-5+1)/2; (2+4)/2]

C[(-4)/2; (6)/2]

C(-2; 3) <--- Este é o centro da circunferência da 2ª questão.

2.iv) Assim, como já temos o centro [C(-2; 3)] e temos o raio [r = √(10)], então vamos encontrar a equação reduzida dessa circunferência. Lembre-se que uma circunferência que tenha centro em C(a; b) e tenha raio = r, a sua equação reduzida é dada pela seguinte fórmula:

(x-a)² + (y-b)² = r²        . (II)

Assim, tendo a relação (II) acima como parâmetro, então a circunferência da 2ª questão, que tem centro em C(-2; 3) e r = √(10) será dada da seguinte forma (basta substituir o "a", o "b" e o "r" por "-2", "3" e "√(10)", respectivamente na fórmula acima):

(x-(-2))² + (y-3)² = [√(10)]² ----- desenvolvendo, teremos:

(x+2)² + (y-3)² = 10 <--- Esta é a equação reduzida da circunferência da 2ª questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?