escreva a equação geral das retas que passam pelos vértices opostos de um quadrado localizado acima do eixo das abscissas e cujos pontos a(0,0) e b (-1,3) são vértices consecutivos
Soluções para a tarefa
Respondido por
23
Bom dia
Vamos ordenar , no sentido anti-horário , os pontos A(0,0) ; B(-1,3); C e D .
1) Coeficiente angular da reta AB
1a ) a reta CD tem o mesmo coeficiente angular m= - 3 [ paralelas ]
1b) as retas BC e AD são perpendiculares à reta AB e seus coeficientes
angulares são m'= 1/3 [ o inverso de m com o sinal trocado ]
A equação de uma reta que passa pelo ponto P(p,q) e tem coeficiente
angular m , é dada por y - q = m ( x - p).
2) Podemos então obter as equações das retas AB ; AD e BC
2a) Equação da reta AB [ passa pelo ponto A e m= -3 ]
y - 0 = -3 * (x-0) ⇒ y = -3x ou 3x+ y = 0
2b) Equação da reta AD [ passa pelo ponto A e m' = 1 / 3 ]
y - 0 = (1/3)*(x-0) ⇒ y = x / 3 ⇒ 3y=x ⇒ x -3y = 0
2c) Equação da reta BC [ passa pelo ponto B e m' = 1 / 3 ]
y - 3 = (1/3 )* [ x- (-1) ] ⇒ y-3 = (1/3)*(x+1) ⇒ 3*(y-3) = x+1 ⇒
3y - 9 = x+1 ⇒ x+1-3y+9 = 0 ⇒ x -3y +8 = 0
3) Para encontrar a reta CD precisamos do ponto C ou D
3a) A circunferência de centro em A e raio r (distância de A à B ) corta a
reta AD no ponto D.
3b) r = √ [ (-1-0)²+(3-0)² ] = √ [ 1+9] = √ 10 ⇒ r² =10
3c) a equação da circunferência de centro (a,b) e raio r é dada por
(x-a)²+(y-b)²=r²
3d) a equação de centro A(0,0) e raio √10 é (x-0)²+(y-0)² = (√10)²
x² + y² =10
3e ) para obter o ponto D vamos resolver o sistema com as equações da
circunferência e da reta AD [ x²+y²=10 e x-3y=0 ]
x-3y= 0 ⇒ x= 3y e (3y)²+(y)²=10 ⇒ 9y²+y²=10 ⇒ 10y²=10 ⇒y²=1
y=1 [ o y=-1 não serve → condição do problema ]
x= 3y ⇒ x=3*1 ⇒ x=3 ⇒ D(3,1)
4) Equação da reta CD [ passa pelo ponto D e m = -3 ]
y - 1 = -3 ( x-3) ⇒ y -1 = -3x + 9 ⇒-3x-y+9+1=0 ⇒-3x-y+10=0
3x+y-10 = 0
Resposta : Equações das retas :
AB → 3x+y=0
AD → x-3y=0
BC → x-3y+8=0
CD → 3x+y-10 = 0
Vamos ordenar , no sentido anti-horário , os pontos A(0,0) ; B(-1,3); C e D .
1) Coeficiente angular da reta AB
1a ) a reta CD tem o mesmo coeficiente angular m= - 3 [ paralelas ]
1b) as retas BC e AD são perpendiculares à reta AB e seus coeficientes
angulares são m'= 1/3 [ o inverso de m com o sinal trocado ]
A equação de uma reta que passa pelo ponto P(p,q) e tem coeficiente
angular m , é dada por y - q = m ( x - p).
2) Podemos então obter as equações das retas AB ; AD e BC
2a) Equação da reta AB [ passa pelo ponto A e m= -3 ]
y - 0 = -3 * (x-0) ⇒ y = -3x ou 3x+ y = 0
2b) Equação da reta AD [ passa pelo ponto A e m' = 1 / 3 ]
y - 0 = (1/3)*(x-0) ⇒ y = x / 3 ⇒ 3y=x ⇒ x -3y = 0
2c) Equação da reta BC [ passa pelo ponto B e m' = 1 / 3 ]
y - 3 = (1/3 )* [ x- (-1) ] ⇒ y-3 = (1/3)*(x+1) ⇒ 3*(y-3) = x+1 ⇒
3y - 9 = x+1 ⇒ x+1-3y+9 = 0 ⇒ x -3y +8 = 0
3) Para encontrar a reta CD precisamos do ponto C ou D
3a) A circunferência de centro em A e raio r (distância de A à B ) corta a
reta AD no ponto D.
3b) r = √ [ (-1-0)²+(3-0)² ] = √ [ 1+9] = √ 10 ⇒ r² =10
3c) a equação da circunferência de centro (a,b) e raio r é dada por
(x-a)²+(y-b)²=r²
3d) a equação de centro A(0,0) e raio √10 é (x-0)²+(y-0)² = (√10)²
x² + y² =10
3e ) para obter o ponto D vamos resolver o sistema com as equações da
circunferência e da reta AD [ x²+y²=10 e x-3y=0 ]
x-3y= 0 ⇒ x= 3y e (3y)²+(y)²=10 ⇒ 9y²+y²=10 ⇒ 10y²=10 ⇒y²=1
y=1 [ o y=-1 não serve → condição do problema ]
x= 3y ⇒ x=3*1 ⇒ x=3 ⇒ D(3,1)
4) Equação da reta CD [ passa pelo ponto D e m = -3 ]
y - 1 = -3 ( x-3) ⇒ y -1 = -3x + 9 ⇒-3x-y+9+1=0 ⇒-3x-y+10=0
3x+y-10 = 0
Resposta : Equações das retas :
AB → 3x+y=0
AD → x-3y=0
BC → x-3y+8=0
CD → 3x+y-10 = 0
Anexos:
Perguntas interessantes