Question

Escreva a equação de 2 grau na incógnita x sabendo que as raízes reais dessa equação são os inversos das raízes da equação x ^ 2 + x/18 - 1/54 = 0

Answer 1

A equação pedida é x² − 3x − 54 = 0.

• Considerando que a equação dada tenha raízes m e n, então ela pode ser escrita na forma (x − m)⋅(x − n), (para o caso em que o coeficiente de x² é igual a 1), então:

$\large \sf (x-m)(x-n) = x^2-\dfrac{1}{18} \cdot x - \dfrac {1}{54}$

$\large \sf x^2-(m+n)x+m \cdot n = x^2-\dfrac{1}{18} \cdot x - \dfrac {1}{54}$

• Comparando os termos semelhantes de cada membro:

$\large \sf m+n=\dfrac{1}{18}$

$\large \sf m \cdot n=-\dfrac{1}{54} \qquad \Longrightarrow\dfrac{1}{mn} = -54$ ①

• Se as raízes da equação desejada são os inversos de m e n então ela pode ser escrita na forma:

$\large \sf \left(x-\dfrac{1}{m}\right)\left(x-\dfrac {1}{n}\right) = x^2 - \left(\dfrac{1}{m}+\dfrac {1}{n}\right) x + \dfrac{1}{mn}$ ②

• Observe que:

$\large \text { \sf \left(\dfrac{1}{m}+\dfrac {1}{n}\right) = \dfrac{n+m}{mn} = \dfrac {\dfrac {1}{18}}{-\dfrac{1}{54}} = -\dfrac {54}{18} = -3 }$ ③

• Substitua na equação ② os valores encontrados em ① e ③.

$\large \sf x^2 - \left(\dfrac{1}{m}+\dfrac {1}{n}\right) x + \dfrac{1}{mn} = x^2 -3x -54$

A equação pedida é x² − 3x − 54 = 0

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