Question

Escreva a equação da reta ( y = ax + b ), tangente ao gráfico da função y = x2 ( x ao quadrado) no ponto de coordenadas ( 1, 1 )

Answer 1

Temos a seguinte função → $y = x^{2}$.

A questão pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função citada (que no caso é uma parábola com vértice na origem).

• 1) Encontrar o coeficiente da reta Tangente

A definição algébrica de derivada é justamente o coeficiente angular, ou seja, devemos derivar a função "y" que foi dado. Essa derivação é bem básica, então não explicarei muita coisa:

$y = x {}^{2} \longleftrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} x {}^{2} \longleftrightarrow \frac{dy}{dx} = 2x$

Esse é o coeficiente angular, mas não é um valor de fato, então basta substituirmos o valor de "x" que a própria questão nos fornece (1,1) → x = 1 e y = 1:

$\frac{dy}{dx} = 2.1 \longleftrightarrow \frac{dy}{dx} = 2$

• Equação da reta:

Só que como eu disse, a derivada é o coeficiente angular, então ela representa o valor de "m" da representação de uma reta (y = mx + n), logo podemos dizer que:

$\frac{dy}{dx} = m \longleftrightarrow m = 2$

Agora fica tudo mais fácil, pois basta substituir os dados na equação fundamental da reta que foi apresentada no ensino médio:

$y - y_0 = m.(x - x_0) \to P(1,1) \: e \: m = 2 \\ y - 1 = 2.(x - 1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ y - 1 = 2x - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ y = 2x - 1}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado