Question

Escreva a equação da parábola de vértice C(p, q), foco F(p + a, q) e diretriz x = p - a, justificando cada passo.

Alguém pode me ajudar?

Answer 1

A equação da parábola geral será q² - 2qy + y² = 0.

A distância do foco até um ponto qualquer da parábola deve ser igual à distância desse ponto qualquer até a reta diretriz.

O foco foi dado: F(p + a, q). Um ponto qualquer, da parábola, terá a forma P(x,y). Já um ponto da reta diretriz x = p - a terá as seguintes coordenadas D(p - a, y).

Logo, matematicamente, vamos ter:

$d_{F,P} = d_{P,D}$

Substituindo os valores que já encontramos anteriormente, na fórmula da distância entre dois pontos no plano x0y, teremos:

$d_{F,P} = d_{P,D}\\\\\sqrt{(p + a - x)^2 + (q - y)^2} = \sqrt{(x - p + a)^2 + (y - y)^2}\\\\(p + a)^2 - 2(p + a)x + x^2 + q^2 - 2yq + y^2 = x^2 - 2(p + a)x + (p + a)^2\\\\q^2 - 2yq + y^2 = 0$

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