Question

escreva a(1,-3,10) como combinação linear dos vetores: U=(1,0,0) V=(1,1,0) e W=(2,-3,5)

Answer 1

Seja "x", "y" e "z" números pertencentes aos reais, o vetor "a" pode ser escrito como:

$\vec{a}~=~x.\vec{U}~+~y.\vec{V}~+~z.\vec{W}\\\\\\(1,-3,10)~=~x.(1,0,0)~+~y.(1,1,0)~+~z.(2,-3,5)\\\\\\(1,-3,10)~=~(1.x,0.x,0.x)~+~(1.y,1.y,0.y)~+~(2.z,-3.z,5.z)\\\\\\\boxed{(1,-3,10)~=~(x,0,0)~+~(y,y,0)~+~(2z,-3z,5z)}$

Podemos então fazer o equacionamento coordenada a coordenada, ficando:

$\left\{\begin{array}{ccc}1&=~~x+y+2z\\-3&=~~0+y-3z\\10&=~~0+0+5z\end{array}$

Perceba que temos um sistema de equações e, para nossa sorte, o sistema já está escalonado.

Pela 3ª equação, temos:

$10~=~0+0+5z\\\\\\z~=~\frac{10}{5}\\\\\\\boxed{z~=~2}$

Substituindo o "z" na 2ª equação:

$-3~=~0+y-3z\\\\\\-3~=~y~-~3~.~2\\\\\\y~=~-3+6\\\\\\\boxed{y~=~3}$

Substituindo "z" e "y" na 1ª equação:

$1~=~x+y+2z\\\\\\1~=~x~+~3~+~2~.~2\\\\\\x~=~1-3-4\\\\\\\boxed{x~=~-6}$

Sendo assim, o vetor "a" pode ser escrito como:

$\boxed{\vec{a}~=~-6\vec{U}+3\vec{V}+2\vec{W}}$