Question

Escreva 3 numeros em PG cuja produto seja 27/8 ea soma dos dois últimos seja -9/4​

Answer 1

Sejam a₁, a₂ e a₃ os 3 números em progressão geométrica, podemos montar duas equações utilizando as afirmações feitas no enunciado:

$\sf \longrightarrow ~~Produto~dos~tr\hat{e}s~\acute{e}~igual~a~\frac{27}{8}:~~\boxed{\sf a_1\cdot a_2\cdot a_3~=~\dfrac{27}{8}}\\\\\\\sf \longrightarrow ~~A~soma~dos~dois~\acute{u}ltimos~vale\,-\frac{9}{4}:~~\boxed{\sf a_2+ a_3~=\,-\dfrac{9}{4}}$

Note que não há muito o que fazer ainda com estas duas equações, precisamos arranjar outra equação para nos auxiliar ou, de alguma forma, diminuir o número de incógnitas.

Vamos então utilizar o termo geral da PG para reescrever a₂ e a₃ em função de a₁ e da razão q.

$\sf Termo~Geral~da~PG:~~\boxed{\sf a_n~=~a_m\cdot q^{n-m}}$

$\sf a_2~=~a_1\cdot q^{2-1}~=~a_1\cdot q^1~~\Rightarrow~~\boxed{\sf a_2~=~a_1 q}\\\\\\a_3~=~a_1\cdot q^{3-1}~=~a_1\cdot q^2~~\Rightarrow~~\boxed{\sf a_3~=~a_1q^2}$

Substituindo nas duas equações mostradas anteriormente:

$\sf \underline{1^a~Equac\tilde{a}o}:~~a_1\cdot a_2\cdot a_3~=~\dfrac{27}{8}\\\\\\\sf a_1\cdot a_1q\cdot a_1q^2~=~\dfrac{27}{8}\\\\\\a_1^{\,3}\cdot q^{3}~=~\dfrac{27}{8}\\\\\\\left(a_1q\right)^3~=~\dfrac{27}{8}\\\\\\a_1q~=~\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}\\\\\\\boxed{\sf a_1q~=~\dfrac{3}{2}}$

$\sf \underline{2^a~Equac\tilde{a}o}:~~a_2+ a_3~=\,-\dfrac{9}{4}\\\\\\\sf a_1q+ a_1q^2~=\,-\dfrac{9}{4}\\\\\\\boxed{\sf a_1q\cdot (1+q)~=\,-\dfrac{9}{4}}$

Agora, substituindo o termo "a₁q" da segunda equação pelo seu valor, encontrado na primeira equação, teremos:

$\sf \dfrac{3}{2}\cdot (1+q)~=\,-\dfrac{9}{4}\\\\\\(1+q)~=\,-\dfrac{9}{4}\cdot \dfrac{2}{3}\\\\\\1+q~=\,-\dfrac{18}{12}\\\\\\q~=\,-\dfrac{3}{2}~-~1\\\\\\\boxed{\sf q~=\,-\dfrac{5}{2}}$

Por fim, basta utilizarmos uma das duas equações para calcularmos o valor de a₁ e, posteriormente, com o termo geral, podemos calcular a₂ e a₃.

$\sf a_1\cdot q~=~\dfrac{3}{2}\\\\\\a_1\cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)~=~\dfrac{2}{2}\\\\\\a_1~=~\dfrac{3}{2}\cdot \left(-\dfrac{2}{5}\right)\\\\\\a_1~=\,-\dfrac{6}{10}\\\\\\\boxed{\sf a_1~=\,-\dfrac{3}{5}}$

$\sf a_2~=~a_1\cdot q\\\\\\a_2~=~\left(-\dfrac{3}{5}\right)\cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)\\\\\\a_2~=~\dfrac{15}{10}\right)\\\\\\\boxed{\sf a_2~=~\dfrac{3}{2}}\\\\\\a_3~=~a_1\cdot q^2\\\\\\a_3~=~\left(-\dfrac{3}{5}\right)\cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)^2\\\\\\a_3~=~\left(-\dfrac{3}{5}\right)\cdot \left(\dfrac{25}{4}\right)\\\\\\a_3~=\,-\dfrac{75}{20}\right)\\\\\\\boxed{\sf a_3~=\,-\dfrac{15}{4}}$

$\sf \underline{\sf Resposta}:~~\left\{-\dfrac{3}{5}~,~\dfrac{3}{2}~,\,-\dfrac{15}{4}\right\}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$