Question

Escolhem-se aleatoriamente três dos seis vértices de um hexágono regular. Qual a probabilidade de que os vértices escolhidos formem um triângulo equilátero?

Answer 1

Um triangulo equilátero tem 3 lados iguais ..logo:

=> Os vértices escolhidos não podem ser ..consecutivos!! ..pois a sua união tem de proporcionar lados iguais.

=> Como os lados tem de ser iguais ...também os vértices escolhidos tem de ter a mesma distancia entre si ...isto implica que a sua "distribuição" tem de ser uniforme ..ou seja com a mesma distancia entre si

=>  Também não podem ter 2 ou mais vértices de "intervalo" entre eles ...pois nem seria possível a construção de um triangulo

..assim sendo resta-nos a possibilidade de os vértices do triangulo terem apenas um intervalo de um vértice do hexágono entre eles

exemplificando:

..No sentido dos ponteiros do relógio vamos referenciar os vértices do hexágono de forma "alfa numérica": A, 1, B, 2, C, 3

como vemos temos 2 possibilidades de escolher "grupos de 3" vértices para construir um triangulo equilátero:

--> A, B, C

ou

--> 1, 2, 3

..note que se  "rodar" qualquer destes grupos ...vai obter o outro grupo ...pelo que não qualquer possibilidade de permutação ou combinação entre eles ...pois isso iria provocar "repetições"

Assim os eventos favoráveis são: 2

Os eventos possíveis são definidos por: C(6,3)

Donde a probabilidade (P) será dada por:

P = 2/C(6,3)

P = 2/[6!/3!(6 - 3)!]

P = 2/(6!/3!3!)

P = 2/(6.5.4.3!/3!3!)

P = 2/(6.5.4/3!)

P = 2/(6.5.4/6)

P = 2/20

..simplificando ...mdc = 2

P = 1/10 ...ou 0,10 ...ou ainda 10%


Espero ter ajudado