Escolha a alternativa que contenha o volume dado por: V= ∫0^1 ∫0^x(3-x-y)dy.dx
Anexos:
Soluções para a tarefa
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140
Pretendemos calcular:
![\int_0^1 \left[\int_0^x (3-x-y) \: dy\right] \: dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint_0%5E1+%5Cleft%5B%5Cint_0%5Ex+%283-x-y%29+%5C%3A+dy%5Cright%5D+%5C%3A+dx "\int_0^1 \left[\int_0^x (3-x-y) \: dy\right] \: dx")
Calculamos o integral interior pelo teorema fundamental cálculo :
![\int_0^1 \left[3y-xy-\dfrac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{y=x} \: dx = \int_0^1 \left(3x-x^2 -\dfrac{x^2}{2}\right) \: dx = \int_0^1 \left(3x-\dfrac{3x^2}{2}\right)\: dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint_0%5E1+%5Cleft%5B3y-xy-%5Cdfrac%7By%5E2%7D%7B2%7D%5Cright%5D_%7By%3D0%7D%5E%7By%3Dx%7D+%5C%3A+dx+%3D+%5Cint_0%5E1+%5Cleft%283x-x%5E2+-%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%5Cright%29+%5C%3A+dx+%3D+%5Cint_0%5E1+%5Cleft%283x-%5Cdfrac%7B3x%5E2%7D%7B2%7D%5Cright%29%5C%3A+dx "\int_0^1 \left[3y-xy-\dfrac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{y=x} \: dx = \int_0^1 \left(3x-x^2 -\dfrac{x^2}{2}\right) \: dx = \int_0^1 \left(3x-\dfrac{3x^2}{2}\right)\: dx")
Note que no final todos os termos em
desaparecem. Do mesmo modo que acima, basta calcular o integral simples resultante:
![\int_0^1 \left(3x-\dfrac{3x^2}{2}\right)\: dx = \left[\dfrac{3x^2}{2}-\dfrac{x^3}{2}\right]_{x=0}^{x=1} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint_0%5E1+%5Cleft%283x-%5Cdfrac%7B3x%5E2%7D%7B2%7D%5Cright%29%5C%3A+dx+%3D+%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B3x%5E2%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D%7B2%7D%5Cright%5D_%7Bx%3D0%7D%5E%7Bx%3D1%7D+%3D+%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D+-+%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D+%3D+1 "\int_0^1 \left(3x-\dfrac{3x^2}{2}\right)\: dx = \left[\dfrac{3x^2}{2}-\dfrac{x^3}{2}\right]_{x=0}^{x=1} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1")
Assim, o volume dado pelo integral é 1.
Calculamos o integral interior pelo teorema fundamental cálculo :
Note que no final todos os termos em
Assim, o volume dado pelo integral é 1.
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7
Resposta:
por que q deu x ao cubo, sobre 2
Explicação passo-a-passo:
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