Question

escalone e classifique e resolva os sistemas lineares abaixo.
a) x + 2y + z = 7
2x + 7x+z=21
-3x-5y+2z=-8

b) x - 2y - z=3
3x-y+z=1
2x -4y-2x=6​

Answer 1

A solução para o sistema linear da letra a é: x = -1, y = 3 e z = 2 (sistema SPD)

Podemos classificar os sistemas lineares da seguinte forma:

SPD – Sistema Possível e Determinado

SPI – Sistema Possível e Indeterminado

SI – Sistema Impossível

Um sistema linear pode ser resolvido através do método da substituição ou pelo método de Cramer, com o auxilio da regra de Sarrus. Uma nova forma de resolução será apresentada no intuito de ampliar as técnicas capazes de determinar os valores das incógnitas de um sistema de equações lineares. Vamos demonstrar como funciona o escalonamento de um sistema na forma de matriz completa dos coeficientes.

Monta-se uma matriz com os valores das constantes das variáveis nas linhas das equações, considerando, por exemplo: ax + by + c = d. Colocamos a,b,c, d em cada uma linha de uma matriz:

a)  Sistema SPD

x + 2y + z = 7

  2x + 7y + z = 21

-3x - 5y +2z = -8

 1    2    1    7          L1  (linha 1)

 2   7    1    21        L2 (linha 2)

-3  -5   2   -8         L3 (linha 3)

Vamos substituir a linha 2 pelo resultado dela menos 2 vezes a linha 1

Nova linha L2 = L2 - 2L1

 1    2    1    7          L1  (linha 1)

 0   3   -1    7         L2 (linha 2)

-3  -5   2   -8         L3 (linha 3)

Vamos substituir a linha 3 pelo resultado dela mais 3 vezes a linha 1:

Nova linha 3 = L3 + 3L1

 1    2    1    7          L1  (linha 1)

 0   3   -1    7          L2 (linha 2)

 0   1    5   13         L3 (linha 3)

Novamente, vamos substiruir a linha 3 pelo resultado dela mais 5 vezes a linha 2:

Nova linha 3 = L3 + 5L2

 1    2    1    7          L1  (linha 1)

 0   3   -1    7          L2 (linha 2)

 0  16   0  48         L3 (linha 3)

Agora, transferindo essas linhas nas equações novamente, termos:

   x + 2y + z = 7            equação 1

 0x + 3y  - z = 7           equação 2

 0x +16y + 0z = 48       equação 3

pela equação 3, podemos achar o valor de y:

$16y = 48\\y = 3$

Substituindo esse y na equação 2, teremos o valor de z:

$3(3) - z = 7\\9 - z = 7\\-z = -2 \\z = 2$

Substituindo agora os valores de y e z na primeira equação, teremos o valor de x

$x + 2(3) + 2 = 7\\x = 7 - 6 - 2\\x = -1$

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