Escalone, classifique e resolva as sistemas lineares abaixo?
a) {2x+3y+z=1}
{3x-3y+z=8}
{2y+z=0}
b){x+y-z=2}
{2x+3y+2z=5}
c){x+y+z=3}
{2x+3y+z=0}
Soluções para a tarefa
2y +z=0 3x - 3y +z =8 ( x por -2)
3x -3y +z =8 por adiçao "pego" a 1ª com a 3ª
fica = 6x +9y + 3z =3
-6x+6y-2z=-16
somando 0x +15y +z =-13
atualizando o sistema
2x + 3y +z=1
2y+z =0
15y+z =-13
"pego" 2ª com a 3ª
2y+z=0 x por 15
15y+z=-13 x por -2
30y + 15z =0
-30y -2z=26
0y +13z=26 somando
atualizando o sistema(sistema escalonado)
2x + 3y +z =1
2y+z =0
13z= 26
13z=26 2y+z=0 2x +3.(-1)+2=1
z= 26/13 2y+2=0 2x -3+2=1
z= 2 2y=0-2 2x-1 =1
2y=-2 2x =1+1
y=-2/2 2x=2
y=-1 x=2/2
x=1
SPD x=1,y=-1 e z=2
Para escalonar os sistemas, precisamos escrever suas matrizes aumentadas, ou seja:
a) Neste caso temos 3 equações e 3 variáveis, logo:
2 3 1 1
3 -3 1 8
0 2 1 0
Multiplicando a primeira linha por -3/2 e somando com a segunda, tem-se:
2 3 1 1
0 -15/2 -1/2 13/2
0 2 1 0
Somando a terceira equação com 4/15 vezes a segunda, tem-se:
2 3 1 1
0 -15/2 -1/2 13/2
0 0 26/30 52/30
Temos então:
26z/30 = 52/30
26z = 52
z = 2
-15y/2 -z/2 = 13/2
-15y - 2 = 13
y = -1
2x + 3(-1) + 2 = 1
x = 1
O sistema possui uma solução, portanto é SPD. Solução: {1, -1, 2}
b) Como este sistema possui mais incógnitas que equações, ele é classificado como SPI. Sua solução é:
1 1 -1 2
2 3 2 5
Multiplicando a primeira linha por -2 e somando com a segunda:
1 1 -1 2
0 1 4 1
Logo, temos:
x + y - z = 2
y + 4z = 1
Isolando y, ficamos com y = 1 - 4z, logo:
x + 1 - 4z - z = 2
x = 1 - 5z
A solução é: {1 - 5z, 1 - 4z, z}.
c) O sistema também é SPI e sua solução é {9 - 2z, -6 + z, z}.
1 1 1 3
2 3 1 0
1 1 1 3
0 1 -1 -6
y = -6 + z
x + (-6 + z) + z = 3
x = 9 - 2z
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