Question

Escalonar o sistema: x+y+z=10 x+2y-z=3 4x+y-z=6

Answer 1

Temos o seguinte sistema:

$\begin{cases} x + y + z = 10 \\ x + 2y - z = 3 \\ 4x + y - z = 6 \end{cases}$

A questão pede para que resolvamos esse sistema através do método de escalonamento, então teremos que fazer algumas coisinhas.

• Primeiro você deve fixar uma equação que possua o termo mais simples em "x", seguindo esse princípio escolherei a primeira equação x + y + z = 10.

$\begin{cases} x + y + z = 10 \: \: \red \ast \\ x + 2y - z = 3 \\ 4x + y - z = 6 \end{cases}$

Tendo feito isso, vamos partir para o próximo passo, onde devemos cancelar as incógnitas "x" das equações restantes, partindo da equação fixada.

• Para cancelar a incógnita "x", da segunda equação, vamos multiplicar a primeira por (-1) e realizar as devidas operações.

$\sf \begin{cases}x + y + z = 10 .( - 1)\\ x + 2y - z = 3 \end{cases} \\ \cancel{ - x} - y - z = - 10 \\ \cancel{x }+ 2y - z = 3 \\ 2y - y - z - z = - 10 + 3 \\ y - 2z = - 7 \: \: \red \bullet$

• Faremos a mesma coisa com a terceira equação, então multiplicarei a primeira equação por -4:

$\sf \begin{cases} x + y + z = 10 .( - 4)\\ 4x + y - z = 6\end{cases} \\ \cancel{- 4x }- 4y - 4z = - 40 \\ \cancel{4x }+ y -z = 6 \\ - 4y + y - 4z - z = - 40 + 6 \\ - 3y - 5z = - 34 \: \: \red\bullet$

Reescrevendo essas expressões:

$\begin{cases} x + y + z = 10 \: \: \red \ast \\ \: \: \: \: \: \: \: \: y - 2z = - 7 \\ \: \: \: - 3y - 5z = - 34\end{cases}$

• Agora vamos fazer a mesma coisa do começo da questão, ou seja, fixar mais uma equação, por motivo de simplicidade escolherei a equação y -2z = -7:

$\begin{cases} x + y + z = 10 \: \: \red \ast \\ \: \: \: \: \: \: \: \: y - 2z = - 7 \: \: \orange\ast \\ \: \: \: \: \: - 3y - 5z = - 34\end{cases}$

• Obviamente vamos cancelar incógnita "y" da terceira equação, então multiplicarei a segunda equação fixada por 3:

$\sf \begin{cases}y - 2z = - 7.(3) \\ - 3y - 5z = - 34 \end{cases} \\ \cancel{3y} - 6y = - 21 \\ \cancel{ - 3y} - 5z = - 34 \\ - 11z = - 55$

Reescrevendo essa nova expressão:

$\begin{cases} x + y + z = 10 \: \: \red \ast \\ \: \: \: \: \: \: \: \: y - 2z = - 7 \: \: \orange\ast \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - 11z= - 55 \: \: \green\ast\end{cases}$

Por fim é só resolver essas equações do primeiro grau e ir substituindo os valores nas outras equações.

$- 11z = - 55 \\ z = \frac{ - 55}{ - 11} \\ z = 5 \\ \\ y - 2z = - 7 \\ y - 2.5 = - 7 \\ y - 10 = - 7 \\ y = 10 - 7 \\ y = 3 \\ \\ x + y + z = 10 \\ x + 3 + 5 = 10 \\ x + 8 = 10 \\ x = 10 - 8 \\ x = 2$

Espero ter ajudado