Question

Esboce o gráfico de um período completo da função f(x)= 1 + 2 sen ( x/2 - pi/6).

se não der pra fazer o grafico, pode me mandar so os pares ordenados, pfv ​

Answer 1

Resposta:

Amigo, fazer o gráfico aqui será meio difícil hehe, mas o que eu posso fazer é te ajudar a achar os pares ordenados (x,y) para a função.

Primeira coisa, você separa esse "1" do sen(x/2-π/6) , porque a única coisa que o 1 vai fazer será transladar para cima (deslocar para cima) uma unidade, no caso, a imagem já de cara, você pode responder:

Im = {y∈R/ 0 ≤ y ≤ 2}

Isso porque, a função seno tem seu ponto máximo, com o "Y" valendo 1, e o mínimo com o "Y" valendo -1, logo:

f(x) = 1-1 ⇒ f(x) = 0 ; e

f(x) = 1+1 ⇒ f(x) = 2

Segundo passo será achar a abcissa (x) do ponto máximo e do ponto mínimo.

No caso, sabemos que:

sen (π/2) = 1  ⇒ sen (x/2-π/6) = sen (π/2)

Cancelando os operadores e resolvendo essa equação temos:

x/2-π/6 = π/2  ⇒ x = 4π/3

Agora o outro extremo:

sen(3π/2) = -1 ⇒ sen(x/2-π/6) = sen(3π/2)

Cancelando os operadores e resolvendo essa equação temos:

x/2-π/6 = 3π/2 ⇒ x = 10π/3

Então sabemos os pares ordenados:

(4π/3 , 2) e (10π/3, 0)

Esse são os extremos, mas para fazer um gráfico adequado, você também deve achar quando:

 sen(x/2-π/6) = 0 , ou seja:

 sen(x/2-π/6) = sen(0) ;

 sen(x/2-π/6) = sen(π) ; e

 sen(x/2-π/6)  = sen(2π)

Adiantando as respostas, conseguimos os pares ordenados:

(π/3, 1) , (7π/3, 1) , (14π/3 , 1)

Com esses pares em negrito você consegue montar seu gráfico :D, lembrando que o gráfico da função seno é a senoide (aquela cobrinha)

Explicação:

Espero ter ajudado!

Answer 2

Tem em anexo o gráfico que engloba mais de um período completo,

podendo melhor ver a evolução do gráfico.

Acrescentei os pontos F e G ( ambos a verde ) , cuja imagem é zero.

Não tinha nenhum no gráfico, que desse esta imagem.

Como pode ver esta função tem período de 4π.

f ( 0 ) = 0

f (4π ) = 0

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Calcular o Conjunto Imagem

A função seno varia entre o mínimo de - 1  e um máximo de + 1

- 1 ≤ sen x ≤ 1

A função aqui tem sen ( x/2 - π/6 )

Então fica

- 1   ≤ sen  ( x/2 - π/6 )  ≤  1

Mas vem a multiplicar por 2.   Por isso , multiplicar tudo por 2

- 1 * 2    ≤  2 * sen  ( x/2 - π/6 )  ≤  1 * 2

- 2    ≤  2 sen  ( x/2 - π/6 )  ≤  2

E adicionar 1 , a tudo também:

- 2 + 1    ≤    1 + 2 sen  ( x/2 - π/6 )  ≤   2 + 1

- 1    ≤    1 + 2 sen  ( x/2 - π/6 )  ≤   3

Encontrado o Conjunto Imagem  = [ - 1 ; 3 ].

Exatamente o que o gráfico mostra.

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Cálculo de quando a função assume o valor imagem mínimo ( - 1 )

 1 + 2 sen  ( x/2 - π/6 ) = - 1

passar 1 para 2º membro

2 sen  ( x/2 - π/6 ) = - 1 - 1

2 sen  ( x/2 - π/6 ) = - 2

dividir tudo por 2

(2 sen  ( x/2 - π/6 ) )  / 2   = - 2 / 2

sen  ( x/2 - π/6 )  = - 1

Quando é que a função seno tem valor mínimo ? É em 3π/2

sen  ( x/2 - π/6 )  = sen ( 3π/2 )

Para que duas expressões com seno sejam iguais terá que:

$\dfrac{x}{2} -\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{3\pi }{2}$

Resolver em ordem a x.

$\dfrac{3*x}{2*3} -\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{3*3\pi }{2*3}$

$\dfrac{3x}{6} -\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{9\pi }{6}$

Denominadores iguais. Podem ser "retirados".

+3x - π = 9π

3x = 9π + π

3x = 10 π

3x/3 = 10 π /3

x = 10π/3     corresponde ao ponto C )

Há mais pontos em que isto acontece. Agora apenas me interessou

encontra um valor.

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Cálculo de quando a função assume o valor imagem máximo ( + 3 )

 1 + 2 sen  ( x/2 - π/6 ) = 3

 2 sen  ( x/2 - π/6 ) = 3 - 1

 2 sen  ( x/2 - π/6 ) = 2

Dividir tudo por 2

( 2 sen  ( x/2 - π/6 )) / 2 = 2 / 2

sen  ( x/2 - π/6 ) = 1

O seno toma valor 1, quando  em π/2

sen  ( x/2 - π/6 ) =  sen ( π/2 )

$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{6} =\dfrac{\pi }{2}$

Tornar as frações todas com denominador 6

$\dfrac{3*x}{3*2} - \dfrac{\pi }{6} =\dfrac{3*\pi }{3*2}$

$\dfrac{3x}{6} - \dfrac{\pi }{6} =\dfrac{3\pi }{6}$

Denominadores iguais. Podem ser "retirados".

3x - π = 3π

3x = 3π + π

3x/3 = 4π/3

x = 4π/3           corresponde ao ponto B

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Cálculo do período da função

Existe mais de uma maneira. Vou usar a mais "económica "

Existe uma fórmula para o período

$Periodo=\dfrac{2\pi }{k}$

Onde 2π é o período de sen (x) e " k " será o coeficiente que multiplica o x.

Nesta função temos

$\dfrac{x}{2} =\dfrac{1}{2}*x$

Pela fórmula

$Periodo=\dfrac{2\pi }{k}$

Ficará

$Periodo=\dfrac{2\pi }{\dfrac{1}{2} }$

$Periodo=2\pi :\dfrac{1}{2} =\dfrac{2\pi }{1} *\dfrac{2}{1} =4\pi$

O período desta função é $4\pi$

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Expressão dos  valores mínimos da função

$x = \dfrac{10\pi }{3} +4n\pi$    com n ∈ Z

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Expressão dos  valores máximos da função

$x = \dfrac{4\pi }{3}+4n\pi$  com n ∈ Z

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Expressão dos zeros da função

$x = 0$  é um dos valores.

Aliás no período completo, 2π , o zero da função é em x = 0

x = 0 + 4nπ         com n ∈ Z

Bons estudos.

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( * ) multiplicação    ( : )  divisão              ( / ) divisão    

( ∈ ) um elemento pertence a     ( Z ) conjunto dos números inteiros

( ≤ )  menor ou igual

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.