Question

Esboce o gráfico de cada uma das funções, abaixo, para determinar qual delas tem inversa ou não. Se a resposta for afirmativa, determine a inversa f-1 e faça um esboço do seu gráfico no mesmo sistema de coordenadas que a função f: a) f(x)=-1/2 x+1 b) f(x)=2 c) f(x)=1-x^2 d) f(x)=√x

Answer 1

Para determinar se uma função tem inversa, fazemos um teste simples: traçamos uma linha horizontal sobre o gráfico da função. Se conseguirmos traçar uma linha que passa duas vezes pela curva descrita pela função, então esta não tem inversa. Por outro lado, se, qualquer que seja a linha que tracemos, não seja possível cruzar a função mais de uma vez, então esta tem inversa.

Estou enviando em anexo as imagens com esboços das funções. Elas estão na mesma ordem do seu enunciado. Vou tratar uma de cada vez.

Função (a): $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$

Esta função é uma reta. Olhando para o gráfico dela, o primeiro, é fácil ver que ela tem inversa, pois não é possível passar duas vezes pela função em um linha horizontal. Toda reta tem uma função inversa, que também é uma reta.

Para calcular a função, precisamos apenas isolar o x. Fazendo y = f(x), temos:

$y=-\frac{1}{2}x+1$
$y-1=-\frac{1}{2}x$
$x=2-2y$

Assim, a função inversa é:

$f^{-1}(y)=2-2y$

Função (b): $<span>f(x)=2$ 
 
Olhando para o segundo gráfico, é fácil ver que esta função não tem inversa. Aliás, nenhuma função constante tem inversa!

Função (c): $</span><span>f(x)=1-x^2$ 

Esta função também não tem inversa, pois qualquer linha horizontal que passe pela curva da função, o fará duas vezes. 

Função (d): $f(x)=\sqrt(x)$

Assim como a primeira, esta função tem inversa, pois não conseguimos traçar uma linha horizontal que passe pela função mais de uma vez. Isto pode ser visto no quarto gráfico.

Para calcular a inversa, novamente fazemos y = f(x) e isolamos x, com o que obtemos:

$y=\sqrt{x}$
$x=y^2$

No entanto, na função original tínhamos que x podia assumir apenas valores positivos, portanto o domínio de x compreende apenas o eixo real positivo. Já a imagem da função, compreendia apenas valores de y positivos, pois a raiz, no domínio dos reais, não pode ser um número negativo. Assim, quando invertemos a função, admitimos apenas valores positivos para y, definindo assim a inversa como:

$f^{-1}(y)=y^2, \,\,\,y>0$.