Question

Esboce o gráfico da função f(x)= x³ -3x²- 9x + 7:

Answer 1

Primeiro, definindo o domínio da função:
$D= \{{x \in \mathbb{R}}\}$

Pois, todos os valores de x são possíveis nos reais.

Investigando como a função se comporta quando "x" tende ao infinito:
$\lim_{x \to +\infty} x^3-3x^2-9x+7 = \infty \\ \\ \lim_{x \to -\infty} x^3-3x^2-9x+7= - \infty$

Encontrando a primeira e a segunda derivada:
$y= x^3-3x^2-9x+7$

Aplicando a famosa "regra do tombo" para encontrar a primeira derivada:
$y'= 3x^{3-1}-3 \cdot 2x^{2-1}-9x^{1-1} \\ \\ \boxed{y'= 3x^2-6x-9}$

Novamente para encontrar a segunda derivada:
$\frac{dy'}{dx} = \frac{d(3x^2-6x-9)}{dx} \\ \\ \boxed{y''= 6x-6}$

Quando a inclinação da função (derivada) for igual a zero, indica que estamos estudando um ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Calculemos esses pontos:

Pontos críticos de 1ª ordem:
$y'= 0 \\ \\ 3x^2-6x-9= 0 \\ \\ 3 \cdot (x-3) \cdot (x+1)= 0 \\ \\ \boxed{x'= 3; ~x''= -1}$

Pontos críticos de 2ª ordem:
$y''= 0 \\ \\ 6x-6= 0 \\ \\ \boxed{x= 1}$

Analisando o comportamento das derivadas antes e depois dos pontos encontrados, podemos montar a tabela que está em anexo I que revela sua inclinação (primeira derivada) e a concavidade (segunda derivada).

Pontos importantes:

· Corte no eixo y:
$f(x)= x^3-3x^2-9x+7 \\ \\ f(0)= 7$

· Pontos críticos:
x= -1:
$y= (-1)^3-3 \cdot (-1)^2-9 \cdot (-1)+7 \\ \\ y= 12$

x= 1:
$y= 1^3-3 \cdot 1^2-9 \cdot 1+7 \\ \\ y= -4$

x= 3:
$y= 3^3-3\cdot 3^2-9 \cdot 3+7 \\ \\ y= -20$

Não é parte do escopo de Cálculo I encontrar as raízes dessa equação, portanto, se faz optativo, ou você pode aproximá-las para aperfeiçoar o seu gráfico. Através de calculadora você poderá verificar que a função irá interceptar "x" nos seguintes valores:
$x' \approx -2,28 \\ \\ x'' \approx 0,66 \\ \\ x''' \approx 4,62$

Sendo y= 0.

Agora basta colocar no plano XoY todas as informações que encontramos e irá montar um gráfico parecido com o que está no anexo II.

Answer 2

Resposta:

Por favor me ajuda

Explicação passo-a-passo:

f (x)=x3 - 6.x2 + 9 .x + 5