Question

Esboce as curvas utilizando a calculadora Gráfica do geogebra. Determine o volume do sólida de revolução gerado pela rotação da região R delimitada pelos gráficos das curvas dadas, em torno do eixo indicado:

y= x^3 e y= x^2 em torno do eixo dos y

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Aplicação do integral

O volume dum corpo gerado pela rotação à volta do eixo das abcissas de um anel , formado pelas linhas $\sf{ y_{1}(x) \leq y(x) \leq y_{2}(x) ~,~a\leq x \leq b }$ , onde $\sf{ y_{1}(x)~e~y_{2}(x) }$ são funções continuas , não negativas , calcula-se pela fórmula :

$\sf{v~=~\pi}\displaystyle\int\limits^{b}_{a}\sf{ \left[ \left(y_{2}(x)\right)^2-\left(y_{1}(x)\right)^2\right]dx }$

Nos é dada as seguintes funções :

$\sf{ y_{1}(x)~=~x^3~e~y_{2}(x)~=~x^2 }$

$\sf{ \Longrightarrow~y_{1}(x)~=~y_{2}(x)~\iff~ x^3~=~x^2 }$

$\sf{\Longrightarrow~ x^2(x-1)~=~0~\Rightarrow~x~=~0~\vee~x~=~1 }$

daí que :

$\sf{v~=~\pi}\displaystyle\int\limits^{1}_{0}\sf{\left[ \left(x^2\right)^2-\left(x^3\right)^2\right]dx~=~\pi}\displaystyle\int\limits^{1}_{0}\sf{\left( x^4-x^6\right)dx}$

$\Longrightarrow \sf{ v~=~ \left( \dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}\right)\Big\|^{1}_{0} }$

$\Longrightarrow \sf{ v~=~\left( \dfrac{1^5}{5}-\dfrac{1^7}{7} \right)-\left(\dfrac{0^5}{5}-\dfrac{0^7}{7} \right) }$

$\Longrightarrow \sf{ v~=~\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}~=~\dfrac{2}{35} }$

$\Longrightarrow \boxed{\boxed{\sf{\red{ v~=~\dfrac{ 2}{35}\pi u.v } } } }$

Espero ter ajudado bastante!)

UEM(Moçambique)-DMI