Question

Esboce a região limitada pelo grafico da função polinomial y=-x^2+4x-3x e pelo eixo x e determine a área dessa região. Qual é a área perdida?

Answer 1

Acredito que seja y = -x² + 4x - 3

Sendo assim, primeiramente precisamos encontrar as raízes dessa equação.

Para isso, como é uma equação do 2° grau, utilizaremos a fórmula de Bháskara:

Δ = 4² - 4.(-1).(-3)
Δ = 16 - 12
Δ = 4

$x = \frac{-4+- \sqrt{4} }{-2}$
$x = \frac{-4+-2}{-2}$

Logo, as raízes são:

$x' = \frac{-4-2}{-2} = 3$
$x'' = \frac{-4+2}{-2} = 1$

Logo, o esboço da região pedida é o da imagem abaixo.

Para calcularmos essa área utilizaremos a integral:

$A = \int\limits^{3}_1 {-x^2+4x-3} \, dx$
$A = - \frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x$

Substituindo os limites de integração:

$A = -9 + 18 - 9 - (-\frac{1}{3} + 2 - 3)$

Portanto, a área é:

$A = \frac{4}{3}$