Matemática, perguntado por igorturques123, 4 meses atrás

Esboce a região e calcule a área entre y=|x| e y= x²-2

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Pelos cálculos, chegamos a conclusão de que que a área entre as funções é igual a $\boxed{\bf A = \frac{20}{3}\:u.a}\\$

Explicação

Temos as seguintes funções:

$\: \:\:\:\:\:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \boxed{ y = |x| \: \: \: e \: \: \: y = x {}^{2} - 2}$

O objetivo é determinarmos a área da região formada entre estas questões.

Função Módulo:

Como sabemos, uma função modular é aquela que possui como resultado um valor inteiro absoluto, isto é, imagem sempre positiva.

Definição formal: a definição de módulo, nos diz que:

$\: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \: \: \: \: \boxed{ \bf |x| = \begin{cases}\bf x, \: se \: x \geqslant 0 \\ \bf -x, \: se \: x < 0\end{cases}}$

Isto é, para valores de x maiores que zero, temos uma reta que é conhecida por ser a bissetriz dos quadrantes ímpares e para o inverso, isto é, valores de x negativos, temos a reta bissetriz dos quadrantes pares.

Limites de integração:

Para encontrar as delimitações da área, devemos analisar a intersecção da função com cada uma das retas citada acima.

Lembrando que intersecção é quando elas se encontram, ou seja, são iguais.

$(1)\begin{cases}x {}^{2} - 2 = x \\ x {}^{2} - x - 2 = 0 \\(x + 1).( x - 2) = 0 \\ \bf x_{1} = - 1 \: \: e \: \:x_{2} = 2\end{cases} \: \: \: (2)\begin{cases}x {}^{2} - 2 = - x \\ x {}^{2} + x - 2 = 0 \\ (x - 1).(x + 2) = 0 \\ \bf x_{1} = 1 \: \: e \: \:x_{2} = - 2\end{cases}$

Como foi dito anteriormente, a função $\bf y = x$ , é definida apenas para $\bf x\geq0$ , ou seja, vamos descartar a intersecção negativa. Já quando a função é $\bf y = -x$ , temos que ela é definida apenas para $\bf x <0$ , logo devemos desacatar a intersecção positiva.

Montagem da integral:

A integral que usaremos é dada por:

$\:\:\:\:\:\:\:\: \:\boxed{\bf A = \int_{a}^{b} (f(x)_{sup} - g(x)_{inf} ) \: dx} \\$

Para a montagem da integral acima, devemos plotar o gráfico com estas funções, uma vez que devemos observar a função inferior e superior.

Observe pela foto anexada, que são duas áreas, em intervalos diferentes.

A primeira área é dada pelo intervalo $\bf [-2,0]$ e a segunda por $\bf [0,2]$ . Agora basta substituir a função superior e a função inferior.

$A = A_1 + A_2 \\ \\ A = \int_{ - 2}^{0} - x - x {}^{2} + 2 \: dx + \int_{0}^{2} x - x {}^{2} + 2 \: dx \\ \\ A = \left[ - \frac{x {}^{2} }{2} - \frac{x {}^{3} }{3} +2x \right] \bigg |_{ - 2}^{0} + \left[ \frac{x {}^{2} }{2} - \frac{x {}^{3} }{3} + 2x \right] \bigg |_{ 0}^{2}$

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, isto é, substituindo os limites:

$A = - \left(- \frac{( - 2)^{2} }{2} - \frac{( - 2) {}^{3} }{3} + 2.( - 2)\right) + \left( \frac{2 {}^{2} }{2} - \frac{2 {}^{3} }{3} + 2.2 \right) \\ \\ A = - \left(- 2 + \frac{8}{3} - 4\right) + \left( 2 - \frac{8}{3} + 4 \right) \\ \\ A = - \left(- 6 + \frac{8}{3} \right) + \left( 6 - \frac{8}{3} \right) \\ \\ A = - \left( \frac{ - 18 + 8}{3} \right) + \left( \frac{18 - 8}{3} \right) \\ \\ A = \frac{10}{3} + \frac{10}{3} \\ \\ \boxed{ \bf A = \frac{20}{3} \: u.a}$