Question

Esboce a região delimitada pelos gráficos das funções do 2º grau f(x)=x^2 e g(x)=2x-x^2 e encontre a área desta região

Answer 1

• Raízes:

A primeira coisa que devemos fazer é encontrar as raízes dessas funções, pois tais raízes serão necessárias para montar o gráfico.

• f(x) = x²:

Para encontrar a raiz de uma função, basta você igualá-la a "0".

$\sf f(x) = x {}^{2} \\ \sf x {}^{2} = 0 \\ \sf x = \sqrt{0} \\ \sf x = 0$

• g(x) = 2x - x²:

$\sf g(x) =2x - x {}^{2} \\ \sf 2x - x {}^{2} = 0 \\ \sf x.(2 - x) = 0 \\ \sf x_1 = 0 \: \: \bullet\\ \sf x_2 \therefore (2 - x) = 0 \\ \sf x_2 = 2 \: \: \bullet$

• Gráfico:

(O desenho do gráfico estará anexado a resposta).

• Note que no gráfico formou-se uma região entre as duas parábolas, portanto será essa a região que devemos calcular a área.

• Limitantes:

Como não sabemos onde começa e termina essa região, teremos que calcular os limitantes da mesma, para isso devemos igualar as duas funções, o resultado será de onde para onde a nossa integral vai variar.

$\sf g(x) = f(x) \\ \sf x {}^{2} = 2x - x {}^{2} \\ \sf x {}^{2} + x {}^{2} - 2x = 0 \\ \sf 2x {}^{2} - 2x = 0 \\ \sf x .(2x - 2) = 0 \\ \\ \sf x_1 = 0 \: \: \bullet \\ \sf x_2 \therefore (2x - 2) = 0 \\ \sf 2x - 2 = 0 \\ \sf 2x = 2 \\ \sf x = \frac{2}{2} \\ \sf x_2 = 1 \: \: \bullet$

Portanto a integral irá variar de 0 a 1.

• Função:

Temos que encontrar a função que representa essa área, tal função será dada pela subtração de uma função pela outra.

$\sf \int \limits_{0}^{1} (2x - x {}^{2} - x {}^{2} )dx = \int \limits_{0}^{1}( 2x - 2x {}^{2} ) dx= \boxed{\int \limits_{0}^{1} \sf (2x - 2x {}^{2} )dx}$

Agora vamos integrar essa função:

• Integração:

Essa integração, será dada pela integral imediata;

$\boxed{ \sf \int u {}^{n} du = \frac{u {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Aplicando:

$\sf \int \limits_{0}^{1} (2x - 2x {}^{2} )dx = \int \limits_{0}^{1} 2x dx - \int \limits_{0}^{1} 2x {}^{2} dx = \\ \\ \sf \int \limits_{0}^{1} \frac{2x {}^{1+ 1} }{1 + 1} - \int \limits_{0}^{1} \frac{2x {}^{ 2 + 1} }{2 + 1} = \boxed{\sf \int \limits_{0}^{1} \frac{2 {x}^{2} }{2} - \frac{2x {}^{3} }{3} }$

• Área:

Para finalizar, basta você aplicar o Teorema fundamental do cálculo e ser feliz.

• Esse tal teorema nos diz que:

$\sf \int \limits_{a}^{b} f(x)dx = f(b) - f(a) \\ \\ \sf f(b) - f(a) = \bigg|_{b} ^{a}$

Aplicando:

$\sf\sf \int \limits_{0}^{1} \frac{2 {x}^{2} }{2} - \frac{2x {}^{3} }{3} = \frac{2x {}^{2} }{2} - \frac{2x {}^{3} }{3} \bigg| _{0}^{1} = \\ \\ \sf \left( \frac{2.(1) {}^{2} }{2} - \frac{2.(1) {}^{3} }{3} \right) - \cancel{\left( \frac{2.(0) {}^{2} }{2} - \frac{2.(0) {}^{3} }{3} \right)} \\ \\ \sf \left( \frac{2}{2} - \frac{2}{3} \right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1.3 - 1.2}{3} = \frac{3 - 2}{ 3} = \boxed{ \sf \frac{1}{3} u.a}$

Espero ter ajudado