Question

Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações em cada caso e calcule a área. A- y^2= 2x e x^2= 2y B- y= sen(x) e y= -sen(x) 0

Answer 1

Primeiramente, devemos saber que a área abaixo da curva de um grafico de função é a integral dessa função.

a) Vamos isolar as equações:

$y^2= 2x\\y=\sqrt{2x}\\\\\\x^2= 2y\\y=\frac{2x}{2}$

Vamos chamar de f(x) e g(x) as funções. $f(x)=\sqrt{2x}$ e $g(x)=\frac{2x}{2}$

Ao construir o gráfico, como mostra a primeira imagem, percebemos que pode-se obter a área da região pintada de rosa ao fazer $\int{f(x)} \, dx - \int{g(x)} \, dx$

Porém, a integral precisa ser definida, e os limites de integração devem ser os pontos de intersecção dos dois gráficos. Perceba que esses pontos são (0,0) e (2,2). Vamos integrar x de 0 ate 2.

Calculando então as duas integrais:

1) Calculando a integral de f(x)

$\int \sqrt{2x}dx=\int \sqrt{2}\sqrt{x}dx=\sqrt{2}\cdot \int \:\sqrt{x}dx=\sqrt{2}\cdot \int \:x^{\frac{1}{2}}dx=\sqrt{2}\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2\sqrt{2}}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

Aplicando os limites:

$\int _0^2\sqrt{2x}dx:\quad \int _0^2\sqrt{2x}dx=\frac{8}{3}-0$

2) Calculando a integral de g(x)

$\int \frac{x^2}{2}dx==\frac{1}{2}\cdot \int \:x^2dx==\frac{1}{2}\cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^3}{6}+C$

Aplicando os limites de integração:

$\int _0^2\frac{x^2}{2}dx:\quad \int _0^2\frac{x^2}{2}dx=\frac{4}{3}-0$

A área portanto é: $A= \frac{8}{3}-\frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

B) Fazendo o mesmo do exercício anterior, teremos:

Pontos de intercepção: (0,0) e (π,0). Vamos integrar em x de 0 a π como limites de integração.

Nesse caso, faremos a integral de h(x) - integral de j(x).

1) Calculando a integral de h(x)

$\int \sin \left(x\right)dx=-\cos \left(x\right)+C$

aplicando os limites de integração: $\int _0^{\pi }\sin \left(x\right)dx=1-\left(-1\right)=2$

2) Calculando a integral de j(x)

$\quad \int _0^{\pi }-\sin \left(x\right)dx=-1-1 = -2$

Calculando a área: 2-(-2) = 4