Question

Esboçar o gráfico da inequação (x²-y)(y-2x) ≥ 1
Quando é assim (x²-y)(y-2x) ≥ 0 não é difícil pois basta fazer isto:
{x²-y ≤ 0
{y-2x ≤ 0
∩
{x²-y ≥ 0
{y-2x ≥ 0
Mas, e quando é assim (x²-y)(y-2x) ≥ 1, como faz?

Answer 1

O resultado é obtido mais facilmente de forma gráfica.

Primeiramente devemos expandir o produto do lado esquerdo da desigualdade:

(x² - y)(y - 2x) = x²y - 2x³ - y² + 2xy

Retornando à inequação:

x²y - 2x³ - y² + 2xy ≥ 1

x²y - 2x³ - y² + 2xy - 1 ≥ 0

Agora vamos trabalhar com a expressão x²y - 2x³ - y² + 2xy - 1 de modo a torná-la novamente um produto de dois termos:

x²y - 2x³ - y² + 2xy - 1

Podemos destacar y:

- y² + (2x + x²)y - 2x³ - 1

Igualando a 0 podemos encontrar as raízes desta equação, para y:

- y² + (2x + x²)y - 2x³ - 1 = 0

y² - (2x + x²)y + 2x³ + 1 = 0

Vale ressaltar aqui que x será tratado como uma constante. Aplicando Bháskara:

Δ = b² - 4ac = (2x + x²)² - 8x³ - 4 = $x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 8x^3 - 4 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4$

$y = \frac{-(2x + x^2) \pm \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{-2}$

$y' = \frac{- 2x - x^2 - \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{-2} = \frac{ 2x + x^2 + \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{2}$

$y'' = \frac{-2x - x^2 + \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{-2} = \frac{2x + x^2 - \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{2}$

Logo, a nossa equação original poderá ser escrita nos termos de suas raízes y' e y'' da seguinte forma:

$-y^2 + (2x + x^2)y - 2x^3 - 1 = (y - \frac{2x + x^2 + \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{2})*(y - \frac{2x + x^2 - \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{2} )$

O que nos resulta na seguinte inequação:

$(y - \frac{2x + x^2 + \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{2})*(y - \frac{2x + x^2 - \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{2} ) \geq 0$

Agora sim podemos fazer diretamente a mesma análise anterior. Deste modo, para que isso seja verdadeiro, basta que:

$\left \{ {{ (y - \frac{2x + x^2 + \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{2}) \geq 0 } \atop { (y - \frac{2x + x^2 - \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{2} )} \geq 0 } \right.$

Ou ainda:

$\left \{ {{ (y - \frac{2x + x^2 + \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{2}) \leq 0 } \atop { (y - \frac{2x + x^2 - \sqrt{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4} }{2} )} \leq 0 } \right.$

Anexei no final desta resolução o gráfico de todas essas curvas para facilitar a visualização.  Podemos ver que a função em verde sempre será positiva, sendo assim, a segunda relação nunca será possível, restando assim somente a primeira. Ambos serão positivos na região sombreada de vermelho.

Você pode aprender mais sobre Inequação aqui: https://brainly.com.br/tarefa/18193623