Question

Esboçar o gráfico da função, determinando: máximo, mínimo, crescimento, decrescimento, pontos onde cortam os eixos, concavidade, ponto de inflexão  e assíntotas:

y= x³ + 4x² + 4x + 1

Answer 1

Olá, Darlany.

f(x) = x³ + 4x² + 4x + 1

1)  Pontos críticos: ponto onde a derivada se anula. Pode ser um mínimo ou máximo local. 

$f'(x)=3x^2 + 8x + 4 = 0\Leftrightarrow x_1=-\frac23\text{ ou }x_2=-2$

Para saber se estes pontos são mínimos ou máximos locais, devemos olhar para o sinal da segunda derivada nestes pontos:

$f''(x)=6x + 8$

$\begin{cases}x_1=-\frac23\Rightarrow f''(x_1)=4>0\Rightarrow f(x_1)\text{ \'e m\'inimo local}\\x_2=-2\Rightarrow f''(x_2)=-4<0\Rightarrow f(x_2)\text{ \'e m\'aximo local}\end{cases}$

2) Máximo: Há um máximo local, que encontramos no item 1:

$f(-2)=(-2)\³ + 4(-2)\² + 4(-2)+ 1=-8+16-8+1=1$

3) Mínimo: Há um mínimo local, que encontramos no item 1:

$f(-\frac23)=(-\frac23)\³ + 4(-\frac23)\² + 4(-\frac23)+ 1=-\frac8{27} + \frac{16}9 -\frac83+ 1=\\\\=-\frac{-8+48-72+27}{27}=-\frac5{27}$

4) Ponto de inflexão: 

$f''(x)=6x+8=0\Rightarrow x=-\frac43$

5) Assíntotas: não possui, pois não existem $a$ e $b$, reais, tais que:

$\lim\limits_{x \to a^\pm}f(x) = \pm\infty\text{ (ass\'intota vertical)}$

$\lim\limits_{x \to \pm\infty}f(x) = b\text{ (ass\'intota horizontal)}$

6) Concavidade: de $-\infty$ até o ponto de inflexão, a concavidade é para baixo, pois o máximo local encontra-se neste intervalo. No ponto de inflexão, a concavidade se alterna. Entre o ponto de inflexão e $+\infty$, a concavidade é para cima, pois o mínimo local encontra-se neste intervalo.

7) Esboço do gráfico: você já conhece os mínimos, máximos locais e ponto de inflexão da curva, basta agora escolher quatro pontos, um à esquerda e outro à direita do mínimo e um à esquerda e outro à direita do máximo. Una estes pontos em uma linha contínua, observando as concavidades na vizinhança do mínimo e do máximo e aparecerá o gráfico da curva f(x). Para a esquerda, a curva tende a $-\infty$ e para a direita a curva tende a $+\infty.$. Gráfico em anexo.