Question

(EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS)
Determine os possíveis valores de x nas equações do 2 grau:

a) sen²x - sen x - 2 = 0 → resposta: 3π/2
b) cos²x - 2 cos x + 1 = 0 → resposta: 0 ou 2π

Answer 1

1 - Chame sen(x) de y:

$\mathsf{\sin^2x- \sin x - 2=0} \\ \\ \mathsf{y^2-y-2=0}$

Resolvendo essa equação, encontramos y = -1 e y = 2, e a condição é a seguinte:

$\displaystyle \mathsf{\sin x=-1} \\ \\ \\ \mathsf{x=\frac{-1}{\sin}} \\ \\ \\ \mathsf{x=-1 \cdot \frac{1}{\sin}} \\ \\\\ \mathsf{x=-1 \cdot \sin^{-1}} \\ \\\\ \mathsf{x = \arcsin(-1)} \\ \\ \\ \mathsf{x=\frac{3 \pi}{2}}$

Nem precisamos fazer isso com y = 2 pelo fato do domínio da função arcsen(x) ser apenas o intervalo fechado [-1,1]. E procure uma tabela com valores correspondentes, como por exemplo, arccos(-1/2) para não ficar na mão.

2 - Mesmo procedimento:

$\mathsf{\cos^2 x-2 \cos x + 1 = 0} \\ \\ \mathsf{y^2-2y+1=0}$

A única solução é y = 1 , daí é só igualar:

$\displaystyle \mathsf{\cos x = 1} \\ \\ \\ \mathsf{x = \frac{1}{\cos}} \\ \\ \\ \mathsf{x = 1 \cdot \cos^{-1}} \\ \\ \\ \mathsf{x = \arccos(1)} \\ \\ \\ \mathsf{x= 0 \, \, ou \, \, 2 \pi}$

Fazemos muito esse procedimento em integrais por substituição trigonométrica para chegar ao resultado final da expressão e para encontrar novos limites de integração. Bom, é só isso msm.