Question

Equações Trigonométricas:

a) 2 cos x - raiz de 3 = 0
b) cos x = -1/2
c) cos x = -1
d) cos x = - raiz de 3/2

Identidades trigonométricas:

a) (1 - tg² x) (1 - sen² x) = 1
b) 1 + tg² x = tg²x . cossec² x
c) sen 2x . cotg x = cos 2x + 1

Answer 1

a) 2 cos x - √3 = 0 
2 cos x = √3 
cos x = √3 / 2
x = 30º 

b) cos x = -1/2
x = 120º 

c) cos x = -1 
x = 180º 

d) cos x = -√3/2
x = 150º

Answer 2

Questão 1) Resolver as equações trigonométricas:

a) $2\cos x-\sqrt{3}=0$
 
$2\cos x=\sqrt{3}\\ \\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \cos x =\cos (\frac{\pi}{6})\\ \\ x=\pm \frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi&\;\text{ ou }\;&x=-\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \end{array}}$

sendo $k$ um número inteiro.


b) $\cos x=-\frac{1}{2}$

$\cos x=\cos(\frac{2\pi}{3})\\ \\ x=\pm \frac{2\pi}{3}+k\cdot 2\pi\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=\frac{2\pi}{3}+k\cdot 2\pi&\;\text{ ou }\;&x=-\frac{2\pi}{3}+k\cdot 2\pi \end{array}}$

sendo $k$ um número inteiro.


c) $\cos x=-1$
 
$\cos x=\cos(\pi)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} x=\pi+k\cdot 2\pi \end{array}}$

sendo $k$ um número inteiro.


d) $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos x=\cos(\frac{5\pi}{6})\\ \\ x=\pm \frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi&\;\text{ ou }\;&x=-\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi \end{array}}$

sendo $k$ um número inteiro.


Questão 2) Verificar as identidades trigonométricas (se são válidas ou não):

a) $(1-\mathrm{tg^{2}\,}x)\,(1-\mathrm{sen^{2\,}}x)=1$

$(1-\mathrm{tg^{2}\,}x)\,\cos^{2}x=1\\ \\ \left(1-\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2}x} \right )\cdot \cos^{2}x=1$


Aplicando a distributiva, chegamos a

$\cos^{2}x-\mathrm{sen}^{2}x=1\\ \\ \cos 2x=1$


A igualdade acima não e válida para todo $x$ real. Logo, a identidade não é válida.


b) $(1+\mathrm{tg^{2}\,}x)=\mathrm{tg^{2}\,}x\cdot \mathrm{cossec^{2}\,}x$

$\left(1+\dfrac{\mathrm{sen^{2}}\,x}{\cos^{2}x}\right )=\dfrac{\mathrm{sen^{2}}\,x}{\cos^{2}x}\cdot \dfrac{1}{\mathrm{sen^{2}\,}x}\\ \\ \\ \dfrac{\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}}\,x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\\ \\ \\ \dfrac{1}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\\ \\ \\ \sec^{2}x=\sec^{2}x$


A identidade acima é válida.


c) $\mathrm{sen\,}2x\cdot \mathrm{cotg\,}x=\cos 2x+1$

$(2\,\mathrm{sen\,}x\cos x)\cdot \mathrm{cotg\,}x=(\cos^{2}x-\mathrm{sen^{2}\,}x)+1\\ \\ (2\,\mathrm{sen\,}x\cos x)\cdot \dfrac{\cos x}{\mathrm{sen\,}x}=\cos^{2}x-\mathrm{sen^{2}\,}x+1\\ \\ \\ 2\cos^{2}x=\cos^{2}x-\mathrm{sen^{2}\,}x+(\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}\,}x)\\ \\ 2\cos^{2}x=\cos^{2}x+\cos^{2}x-\mathrm{sen^{2}\,}x+\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ 2\cos^{2}x=2\cos^{2}x$


A identidade acima também é válida.