Question

Equações Logarítmicas : a) Log2^(x) + Log2 ^(x) +log2 ^(4x) +log2^(8x)= 10

b) log2^(x)+log2^(10x-1)=1

Por favor,preciso do desenvolvimento também ..

Answer 1

Oi Gabriela,

dada a equação logarítmica do produto,

$log_2(x)+log_2(x)+log_2(4x)+log_2(8x)=10$

vamos estabelecer a condição de logaritmos( a incógnita está no logaritmando x, 2x, 4x e 8x > 0). Podemos então usar a 1a propriedade de log (a do produto),

$\boxed{loga+logb~\to~log(a\cdot b)}$

$log_2[(x)\cdot (x)\cdot(4x)\cdot(8x)]=10$

Agora aplicamos a definição de logaritmos..

$\boxed{log_ab=c~\to~a^c=b}$

$log_2(32x^4)=10\\ 32x^4=2^{10}\\ (2^5)\cdot x^4=2^{10}\\\\ x^4= \dfrac{2^{10}}{2^5}\\\\ x^4=2^5\\ x=\pm \sqrt[4]{2^5}\\ x=\pm \sqrt[4]{2\cdot2^4}\\ x'''~e~x''''=\pm2 \sqrt[4]{2}$

Então..

$x'~e~x''=0~~~~e~~~~x'''~e~x''''= \pm2\sqrt[4]{2}$

Como somente $x=2 \sqrt[4]{2}$ atende à condição, temos que..

$\huge\boxed{\boxed{S=\left\{2 \sqrt[4]{2}\right\}}}$


__________________

$log_2x+log_2(10x-1)=1\\ log_2[x\cdot(10x-1)]=1\\ 10x^2-x=2^1\\ 10x^2-x-2=0\\\\ \Delta=(-1)^2-4\cdot10\cdot(-2)\\ \Delta=1+80\\ \Delta=81\\\\\\ x= \dfrac{-(-1)\pm \sqrt{81} }{2\cdot10}= \dfrac{1\pm9}{20}\begin{cases}x'= \dfrac{1-9}{20}= -\dfrac{8}{20}=- \dfrac{4}{5}~~(nao~atende)\\\\ x''= \dfrac{1+9}{20}= \dfrac{10}{20}= \dfrac{1}{2}\end{cases}\\\\\\ \huge\boxed{\boxed{S=\left\{ \dfrac{1}{2}\right\}}}$

Tenha ótimos estudos ;D