Question

Equações irracionais ®​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

j)

$\sf \sqrt{5+\sqrt{x+12}}=3$

$\sf (\sqrt{5+\sqrt{x+12}})^2=3^2$

$\sf 5+\sqrt{x+12}=9$

$\sf \sqrt{x+12}=9-5$

$\sf \sqrt{x+12}=4$

$\sf (\sqrt{x+12})^2=4^2$

$\sf x+12=16$

$\sf x=16-12$

$\sf x=4$

Verificação

$\sf \sqrt{5+\sqrt{4+12}}=3$

$\sf \sqrt{5+\sqrt{16}}=3$

$\sf \sqrt{5+4}=3$

$\sf \sqrt{9}=3$

Verdadeiro

Logo, 4 é raiz

$\sf S=\{4\}$

l)

$\sf \sqrt{4x+5}-x=0$

$\sf \sqrt{4x+5}=x$

$\sf (\sqrt{4x+5})^2=x^2$

$\sf 4x+5=x^2$

$\sf x^2-4x-5=0$

$\sf \Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)$

$\sf \Delta=16+20$

$\sf \Delta=36$

$\sf x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{36}}{2\cdot1}=\dfrac{4\pm6}{2}$

$\sf x'=\dfrac{4+6}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{10}{2}~\Rightarrow~x'=5$

$\sf x"=\dfrac{4-6}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-2}{2}~\Rightarrow~x"=-1$

• Para x = 5:

$\sf \sqrt{4\cdot5+5}-5=0$

$\sf \sqrt{20+5}=5$

$\sf \sqrt{25}=5$

Verdadeiro

Assim, 5 é raiz

• Para x = -1:

$\sf \sqrt{4\cdot(-1)+5}-(-1)=0$

$\sf \sqrt{-4+5}+1=$

$\sf \sqrt{1}=-1$

Falso

Assim, -1 não é raiz

Logo, $\sf S=\{5\}$

m)

$\sf x+\sqrt{2x^2+x-2}=0$

$\sf \sqrt{2x^2+x-2}=-x$

$\sf (\sqrt{2x^2+x-2})^2=(-x)^2$

$\sf 2x^2+x-2=x^2$

$\sf 2x^2-x^2+x-2=0$

$\sf x^2+x-2=0$

$\sf \Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-2)$

$\sf \Delta=1+8$

$\sf \Delta=9$

$\sf x=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}=\dfrac{-1\pm3}{2}$

$\sf x'=\dfrac{-1+3}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{2}{2}~\Rightarrow~x'=1$

$\sf x"=\dfrac{-1-3}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-4}{2}~\Rightarrow~x"=-2$

• Para x = 1:

$\sf 1+\sqrt{2\cdot1^2+1-2}=0$

$\sf 1+\sqrt{2\cdot1+1-2}=0$

$\sf 1+\sqrt{2+1-2}=0$

$\sf \sqrt{1}=-1$

Falso

Assim, 1 não é raiz

• Para x = -2

$\sf -2+\sqrt{2\cdot(-2)^2-2-2}=0$

$\sf -2+\sqrt{2\cdot4-2-2}=0$

$\sf -2+\sqrt{8-2-2}=0$

$\sf \sqrt{4}=2$

Verdadeiro

Assim, -2 é raiz

Logo, $\sf S=\{-2\}$