Question

equações exponenciais

 

Answer 1

EXPONENCIAL

Equações Exponenciais

1° tipo:

$3 ^{ x+2}=27 ^{ \frac{x}{4} }$

Fatorando 27, temos:

$3 ^{x+2}=(3 ^{3}) ^{ \frac{x}{4} }$

$3 ^{x+2}=3 ^{ \frac{3x}{4} }$

Eliminando as bases podemos trabalhar com os expoentes:

$x+2= \frac{3x}{4}$

$4(x+2)=3x$

$4x+8=3x$

$8=3x-4x$

$-x=8$

$x=-8$


2° tipo

$2 ^{x+1}+2 ^{x}-7*2 ^{x-2}=40$

Aplicando as propriedades da potenciação, vem:

$2 ^{x}*2 ^{1}+2 ^{x}-7*2 ^{x}*2 ^{-2}=40$

Utilizando uma variável auxiliar, $2 ^{x}=y$, vem:

$y*2+y-7*y* \frac{1}{4}=40$

$2y+y-7y* \frac{1}{4}=40$

$3y- \frac{7}{4}y=40$

$4*3y-7y=40*4$

$12y-7y=160$

$5y=160$

$y=160/5$

$y=32$

Retomando a variável original, vem:

$2 ^{x}=y$

$2 ^{x} =32$

$2 ^{x}=2 ^{5}$

$x=5$


3° tipo:

$4(3 ^{x}-3 ^{3-x})=24$

$3 ^{x}-3 ^{3-x}= \frac{24}{4}$

$3 ^{x}-3 ^{3-x}=6$

Aplicando as propriedades da potenciação, vem:

$3 ^{x}- \frac{3 ^{3} }{3 ^{x} }=6$

Utilizando uma variável auxiliar, $3 ^{x}=p$, temos:

$p- \frac{27}{p}=6$

$p ^{2}-27=6p$

$p ^{2}-6p-27=0$

Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes p'=9 e p"= -3

Retornando à variável original, vem:

$3 ^{x}=p$                    $3 ^{x}=p$

$3 ^{x}=9$                    $3 ^{x}=-3$  não serve

$3 ^{x}=3 ^{2}$              

$x=2$

Portanto x=2