Question

Equações biquadradas são equações de quarto grau com a forma geral ax4+bx4+c=0. Esse tipo de equação pode ter até 4 raízes reais. Assim, as raízes da equação x4-13x2+36=0 serão quais, respectivamente?
A) -3, -2, 2, 3.
B) 0, 0, 6, -1.
C) -2, -3, -1, 0.
D) 1 ,1, 0, 0.

Answer 1

Usando mudança de variável nesta equação incompleta do 4º grau,

obtém-se as raízes S = { - 3 ; - 2 ; 2 ; 3 }

( ver gráfico em anexo )

As equações completas do 4º grau são da forma:

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$

Todavia existe um tipo particular de Equações do 4º ( incompletas ) que

são deste tipo:

$ax^4+bx^2+c=0$

Também se chamam de Equações biquadradas.

$x^4+13x^2+36=0$

Para resolver vamos primeiro mexer, dentro das regras da Matemática , em $x^4$ .

Observação 1 → Potência de potência

Mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Exemplo:

$(x^2)^{2} =x^{(2*2)} =x^4$

Mas é importante ter a noção que pode-se fazer ao "contrário"

$x^4=(x^2)^{2}$

É isto que vou aplicar aqui.

$x^4-13x^2+36=0$    

$(x^2)^{2} -13x^2+36=0$

E fazer substituição de variável

$x^2 = t$

$t^2-13t+36=0$

Aqui temos "apenas" uma equação do 2º grau, resolver usando a

Fórmula de Bhaskara

x = ( - b ± √Δ ) / (2*a)               Δ  = b² - 4 * a * c              a ≠ 0

a =    1

b = - 13

c =   36

Δ = ( - 13 )² - 4 * 1 * 36 = 169 - 144 = 25

√Δ = √25 = 5

t1 = ( - ( - 13 ) + 5 ) / (2 * 1)

t1 = ( + 13 + 5 ) / 2

t1 = 18/2

t1 = 9

t2 = ( - ( - 13 ) - 5 ) / (2 * 1)

t2 = ( + 13 - 5 ) / 2

t2 = 8/2

t2 = 4

Temos agora que voltar à variável inicial

x² = t

Para t = 9

x² = 9

x = + √9     ou    x = - √9

x = 3     ou   x = - 3

Para t = 4

x² = 4

x = √4     ou    x = - √4

x = 2     ou     x = - 2

S = { - 3 ; - 2 ; 2 ; 3 }

---------------

Observação  2 → Sinal "menos" antes de parêntesis

Quando assim acontece, os valores dentro do parêntesis, quando saem,

mudam seu sinal.

Exemplo

- ( - 13 ) = + 13 = 13

Observação  3 → Equações do 2º grau , a ≠ 0

Se "a" pudesse ser zero a equação ficava

ax² + bx + c = 0

0 + bx + c = 0

bx + c = 0      seria uma equação do 1º grau

Bons estudos.

-----------------

( * ) multiplicação        ( / ) divisão     ( ≠  )  diferente de

( t1 ; t2 )  nomes dados às raízes da equação do 2º grau

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.