Question

Equaçoes biquadradas nao consigo fazer

Answer 1

$x^{4}-8x^{2}=\frac{1}{9}\\ \\ x^{4}-8x^{2}-\frac{1}{9}=0\\ \\ (x^{2})^{2}-8x^{2}-\frac{1}{9}=0$


Fazendo uma mudança de variável:

$x^{2}=y\;\;\;\;(y\geq 0)$


Substituindo na equação, temos

$y^{2}-8y-\frac{1}{9}=0\\ \\ 9y^{2}-72y-1=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=9\\ b=-72\\ c=-1 \end{array} \right.\\ \\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-72)^{2}-4\cdot 9\cdot (-1)\\ \\ \Delta=72^{2}+36\\ \\ \Delta=(2\cdot 36)^{2}+36\\ \\ \Delta=2^{2}\cdot 36^{2}+36\\ \\ \Delta=36\cdot (2^{2}\cdot 36+1)\\ \\ \Delta=6^{2}\cdot 145\\ \\ \\ \\ y=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$


$y=\dfrac{-(-72)\pm \sqrt{6^{2}\cdot 145}}{2\cdot 9}\\ \\ \\ y=\dfrac{72\pm 6\sqrt{145}}{18}\\ \\ \\ y=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 6\cdot (12\pm \sqrt{145})}{\diagup\!\!\!\! 6\cdot 3}\\ \\ \\ y=\dfrac{12\pm \sqrt{145}}{3}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} y=\dfrac{12+\sqrt{145}}{3}&\;\text{ ou }\;&y=\dfrac{12-\sqrt{145}}{3}\text{\;\;(n\~{a}o serve, pois }y\geq 0\text{)} \end{array}\\ \\ \\ y=\dfrac{12+\sqrt{145}}{3}$


Substituindo de volta para a variável $x,$ temos

$x^{2}=\dfrac{12+\sqrt{145}}{3}\\ \\ \\ x=\pm\sqrt{\dfrac{12+\sqrt{145}}{3}}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} x=-\sqrt{\dfrac{12+\sqrt{145}}{3}}&\;\text{ ou }\;&x=\sqrt{\dfrac{12+\sqrt{145}}{3}} \end{array}$