Question

Equação segmentaria da reta que passa pelos pontos A(4,0) e B(0,-1)

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Coeficiente angular m

m = (-1 - 0)/(0 - 4) = -1/-4 => m = 1/4

Equação geral da reta

y - ya = m(x - xa)

y - 0 = 1/4(x - 4)

y = x/4 - 1

-x/4 + y = -1

Dividindo tudo por (-1), temos

x/4 - y = 1

Que é a equação segmentaria da reta

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{x}{4}-y=1}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinarmos a equação segmentária da reta que passa pelos pontos $A$ e $B$, devemos relembrar algumas propriedades.

Dada uma equação geral da reta de coeficientes reais $ax+by=c$. Ao dividirmos ambos os lados da equação por $c$, teremos:

$\dfrac{ax}{c}+\dfrac{by}{c}=\dfrac{c}{c}$

Reescrevendo estas frações como uma fração de frações, teremos

$\dfrac{x}{\left(\dfrac{c}{a}\right)}+\dfrac{y}{\left(\dfrac{c}{b}\right)}=1$

Esta é a forma da equação segmentária.

Então, devemos determinar o valor dos coeficientes $a$, $b$ e $c$. Para isso, utilizaremos matrizes.

De acordo com a condição de alinhamento de três pontos, sejam dois pontos $(x_1,~y_1)$, $(x_2,~y_2)$ e um ponto genérico $(x,~y)$, o determinante formado da seguinte forma pelas coordenadas destes pontos deve ser nulo:

$\begin{vmatrix}x_1 & y_1 &1 \\ x_2&y_2 &1 \\ x& y & 1\end{vmatrix}=0$

Ao calcularmos este determinante, teremos a equação geral da reta que passa pelos pontos $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$.

Substituindo as coordenadas dos pontos $A~(4,~0)$ e $B~(0,~-1)$, teremos

$\begin{vmatrix}4 &0 &1 \\ 0&-1 &1 \\ x& y & 1\end{vmatrix}=0$

Para calcularmos este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita do determinante e encontrarmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\left|\begin{matrix}4 & 0 &1 \\ 0&-1 &1 \\ x& y & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}4 & 0 \\ 0&-1 \\ x& y \end{matrix}\right.=0$

Aplique a regra de Sarrus

$4\cdot(-1)\cdot1+0\cdot 1\cdot x+1\cdot 0\cdot y-(0\cdot 0\cdot 1+4\cdot1\cdot y+1\cdot (-1)\cdot x)=0$

Multiplique os valores

$-4-(4y-x)=0$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$-4-4y+x=0$

Então, some $4$ em amos lados da equação e reorganize os termos

$x-4y=4$

Dividindo ambos os lados da equação por $4$, teremos

$\dfrac{x}{4}-\dfrac{4y}{4}=\dfrac{4}{4}$

Simplifique as frações

$\dfrac{x}{4}-y=1$

Esta é a equação segmentária da reta que passa pelos pontos $A$ e $B$.