Question

Equação reduzida da reta

Encontrar a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(4,14)
e B(6,2)

Me ajudem por favor

Answer 1

Com os cálculos realizados chegamos a conclusão de a equação reduzida é: $\large \displaystyle \mathsf{ y = -6x + 38 }$.

Dados dois pontos distintos,  $\boldsymbol{ \displaystyle \sf Q\: (\:x_A, y_A\:) ~ e ~ R\: (\:x_B, y_B\:) }$, pertencentes à reta r, vamos determinar uma relação entre as coordenadas de um ponto genérico, $\boldsymbol{ \displaystyle \sf P\: (\:x , y\:) }$reta r. ( Vide  a figura em anexo ).

Pela condição de alinhamento para os pontos Q, R e P, podemos escrever:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf x_A & \sf y_A & \sf 1 \\ \sf x_B & \sf y_B & \sf 1\end{array} = 0 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \underbrace{ \sf( y_A - y_ B )}_{\sf a} \:x + \underbrace{ \sf ( x_B - x_ A )}_{\sf b} \: y + \underbrace{ \sf x _A y_B - x_B y_A}_{ \sf c}= 0 } }$

Não sendo a e b simultaneamente nulos, obtemos a equação geral da reta:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ ax +by + c = 0 } }$

Equação na forma reduzida:

Dada a equação geral da reta r, $\boldsymbol{ \textstyle \sf ax +bx + c = 0 }$, se $\boldsymbol{ \textstyle \sf b \ne 0 }$, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ by = -ax - c }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \underbrace{\sf \left( -\:\dfrac{a}{b} \right) } _{m} + \underbrace{\sf \left( -\:\dfrac{c}{b} \right) } _{n} } }$

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ y = mx +n } }$

Inclinação e coeficiente angular de uma reta:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ m = \tan{\theta} = \dfrac{y_B- y_A}{x_B - x_A} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

Para determinar a equação reduzida, pegamos qualquer ponto da reta que foi dado pelo enunciado.

$\Large \displaystyle \mathsf{ y = mx +n }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \left( \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \right) \cdot x +n } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 14 = \left( \dfrac{2 -14}{6 -4} \right) \cdot 4 +n } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 14 = \left( \dfrac{-12}{2} \right) \cdot 4 +n } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 14 = -6 \cdot 4 +n }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 14 = - 24 +n }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 14 +24 = n }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 38 = n }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = -6x +38 }$

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