Question

equação parametrica para equação simetrica

Answer 1

Para passar da equação paramétrica de uma reta para a equação simétrica, basta resolver a expressão que define cada uma das componentes em ordem ao parâmetro e depois igualar.

Exemplo: considere a reta definida por:
$r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 8 + 3t \\ z = 9(t -2) \\ \end{cases}, \quad t\in\mathbb{R}$

Resolvemos cada uma das igualdades de forma a isolar o parâmetro real $t$:
$x = 1 + 2t \iff 2t = x-1 \iff t =\dfrac{x-1}{2}$
$y = 8 + 3t \iff y-8 = 3t \iff t = \dfrac{y-8}{3}$
$z = 9(t-2) \iff z = 9t -18 \iff z + 18 = 9t \iff t = \dfrac{z+18}{9}$

Agora, basta notar que se $t$ é igual a cada uma das igualdades, então todas elas são iguais entre si, pois a relação de igualdade é transitiva. Obtemos então:
$\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-8}{3} = \dfrac{z+18}{9}$