Question

equação irracional √x+4 =x-2

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se a seguinte equação irracional:

√(x+4) = x - 2 ----- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:

[√(x+4)]² = (x-2)² ------ desenvolvendo, teremos:
x + 4 = x² - 4x + 4 ------ passando todo o 1º membro para o 2º, temos:
0 = x² - 4x + 4 - x - 4 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = x² - 5x ---- vamos apenas inverter, ficando:
x² - 5x = 0 ------ para encontrar as raízes, vamos colocar "x" em evidência, ficando:
x*(x - 5) = 0 ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Assim, temos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ---> x' = 0

ou
x-5 = 0 ---> x'' = 5.

Agora veja: em princípio, "x" poderá ser ou "0" ou "5". E por que eu falei que é "em princípio"? Porque, quando estamos trabalhando com equações irracionais, só podemos afirmar (com certeza absoluta) sobre a resposta após fazermos as devidas substituições na expressão original e verificarmos se a igualdade se verifica. Então vamos fazer o seguinte:

i) Para x = 0, na expressão original, que é: √(x+4) = x-2 , teremos:

√(0+4) = 0-2
√(4) = - 2 ------- como √(4) = 2, teremos:
2 = - 2 <---- Absurdo. Logo, x = 0 NÃO é uma raiz válida.

ii) Para x = 5, na expressão original, que é: √(x+4) = x-2, teremos:

√(5+4) = 5-2
√(9) = 3 ------- como √(9) = 3, teremos:
3 = 3 <---- Veja que para x = 5, a igualdade se verificou.

iii) Então a resposta correta será:

x = 5 <---- Esta é a resposta.

Se quiser, você poderá apresentar o conjunto-solução assim:

S = {5} .

Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.