Question

EQUAÇÃO EXPONENCIAL [TODAS DA ESPCEX]

(01) A soma e o produto das raízes da equação $(2^{x+6})^ x^{2}^{-6x+5} = 1$ são, respectivamente:
RESPOSTA: - 5 e 6

(02) O valor da soma das raízes da equação $2^{2x-2} - 17. 2^{x-3} + 1 = 0$ é:
RESPOSTA: 2

(03) O menor valor que a função real y = $(1/2)^{-x^{2}+6x-9 }$ pode assumir, é:
RESPOSTA: 1

Answer 1

Oi Maira,

(01)
Vamos nos lembrar que, qualquer número elevado a potência 0 resulta em 1. Portanto, podemo reescrever o segundo membro da equação da seguinte forma:
$(2^{x+6})^{x^2-6x+5}=1 \\ \\ (2^{x+6})^{x^2-6x+5}=2^0$

Como as bases de ambas as potências da igualdade são iguais (2), podemos cortá-las, e igualar os expoentes:
$(x+6)^{x^2-6x+5}=0$

Note que temos um número desconhecido (x+6) elevado à uma potência desconhecida (x²-6x+5), e que o resultado dessa potência é 0. Na matemática, para uma potência ser nula (resultado igual a 0), podemos ter duas alternativas:
1 - A base é igual a 0, ou;
2 - O expoente é igual a 0.

Tirando essas duas possibilidades, não há modo de uma potência resultar em 0. Com isso em mente, sabendo que nossa base é (x+6) e nosso expoente é (x²-6x+5), vamos resolver as duas possibilidades:
1 - A base é igual a 0:
$x+6=0 \\ \boxed{x = -6}$

2 - O expoente é igual a 0:
$x^2-6x+5=0 \\ \\ \Delta = 36-4(1)(5) \\ \Delta = 36-20 \\ \Delta = 16 \\ \\ x' = \frac{6+4}{2}=\boxed{5} \\ \\ x'' = \frac{6-4}{2}=\boxed{1}$

Em qualquer uma dessas possibilidades, a igualdade se mostra verdade. Logo, podemos dizer que -6, 1 e 5 são as raízes da equação.
$Soma = -6+1+5 \\Soma = -6+6 \\ \boxed{Soma = 0}$

$Produto = 1*5*(-6) \\ Produto = 1*(-30) \\ \boxed{Produto = -30}$

Nota: Esse é o jeito mais fácil de resolver essa questão, você também pode multiplicar os expoentes do primeiro membro da equação, fazendo a potência de 2 virar uma equação do terceiro grau. As raízes serão as mesmas.

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(02)
Aqui precisaremos recordar de duas propriedades da potenciação:
$(a^m)^n=a^{m*n} \\ \\ a^{m-n}= \frac{a^m}{a^n}$

Como os dois expoentes envolvem subtração, podemos utilizar a segunda propriedade e reescrever a equação dessa forma:
$2^{2x-2}-17*2^{x-3}+1=0 \\ \\ \frac{2^{2x}}{2^2}-17*( \frac{2^x}{2^3})=-1$

Nesse instante, podemos ainda usar a primeira propriedade para reescrever 2^(2x):
$\frac{(2^x)^2}{2^2}-17*( \frac{2^x}{2^3})=-1$

Agora vamos utilizar a técnica de mudança de variáveis, chamando todo e qualquer 2^x de simplesmente y:
$\frac{y^2}{4}-17*( \frac{y}{8})=-1 \\ \\ \frac{y^2}{4}-\frac{17y}{8}=-1$

Realizando o MMC no primeiro membro:
$\frac{2y^2-17y}{8}=-1 \\ \\ 2y^2-17y=-8 \\ \\ 2y^2-17y+8=0$

Como chegamos numa equação do segundo grau, podemos resolve-la pelo método tradicional:
$2y^2-17y+8=0 \\ \\ \Delta = 289-4(2)(8) \\ \Delta = 289-64 \\ \Delta = 225 \\ \\ y' = \frac{17+15}{4} =\boxed{8} \\ \\ y'' = \frac{17-15}{4}= \boxed{ \frac{1}{2}}$

Devemos tomar muito cuidado agora, pois como fizemos a troca de variáveis, essas não são ainda as raízes que procuramos. Como fizemos 2^x=y e descobrimos os dois valores de y, devemos agora desfazer a troca:
$2^x=y' \\ \\ 2^x = 8 \\ \\ 2^x = 2^3 \\ \\ \boxed{x =3}$

e:
$2^x=y'' \\ \\ 2^x = \frac{1}{2} \\ \\ 2^x = 2^{-1} \\ \\ \boxed{x=-1}$

Portanto, as raízes são -1 e 3. Logo:
$Soma = 3+(-1) \\ \boxed{Soma = 2}$

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(03)
Nas funções exponencias, devemos saber que, a grosso modo, quanto maior o valor que o expoente assume, maior o valor que a função assume. Do mesmo modo, quanto menor for o expoente, menor será o valor que a função vai assumir. Então, para descobrir o menor valor que uma função exponencial pode assumir, basta atribuir o menor valor possível para o seu expoente. Entretanto, note que o expoente dessa função é uma equação do segundo grau com a parábola voltada para baixo, e, consequentemente, ela NUNCA assumirá um valor mínimo, pois decresce indefinidamente. Desse modo, precisamos de um expoente cuja função sera uma parábola voltada para cima, pois assim, ela terá um valor mínimo em y apresentado. Podemos fazer isso facilmente manipulando a base da função, já que (1/2)=2^-1. Com isso, o sinal negativo do novo expoente mudará todos os sinais do expoente antigo, tornando a função uma parábola voltada para cima:
$y= \frac{1}{2}^{-x^2+6x-9} \\ \\ y = 2^{-(-x^2+6x-9)} \\ \\ y = 2^{x^2-6x+9}$

Veja que agora podemos atribuir um valor mínimo para o expoente (x²-6x+9)
Esse valor é exatamente o valor de ordenada do vértice da parábola x²-6x+9, chamado Yv, que é dado por:
$Yv = - \frac{\Delta}{4a} \\ \\ Yv = -\frac{36-4(1)(9)}{4} \\ \\ Yv = - \frac{36-36}{4} \\ \\ Yv = \frac{0}{4} \\ \\ Yv = 0$

Logo, a função assume seu menor valor quanto o expoente em questão vale 0. Essa situação é representada abaixo:
$y = 2^{x^2-6x+9} \\ \\ y = 2^0 \\ \\ \boxed{y = 1}$

Por fim, o menor valor que ela pode assumir é 1.

Bons estudos!