Question

equacao exponencial $9^{x} -4.3^{x} +3=0$

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=\{x\in\mathbb{R}~|~x=(0,~1)\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta equação exponencial, devemos relembrar de algumas propriedades de potências e equações quadráticas.

Seja a equação exponencial: $9^x-4\cdot 3^x+3=0$

Lembre-se que $9^x=(3^2)^x$. Pela propriedade de potência, podemos fazer: $(3^x)^2$, logo nossa equação se torna:

$(3^x)^2-4\cdot 3^x+3=0$

Fazendo uma substituição $y=3^x$, teremos a equação quadrática

$y^2-4y+3=0$

Para resolver esta equação, utilize a fórmula resolutiva. Dada uma equação quadrática completa de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0$, suas soluções são encontradas pela fórmula $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

Substituindo os coeficientes $a=1$, $b=-4$ e $c=3$, teremos:

$y=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$y=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}$

Some os valores no radicando

$y=\dfrac{4\pm\sqrt{4}}{2}$

Sabendo que $4=2^2$, temos

$y=\dfrac{4\pm2}{2}$

Separe as soluções

$y=\dfrac{4-2}{2}~~~\mathtt{ou}~~~y=\dfrac{4+2}{2}$

Some os valores

$y=\dfrac{2}{2}~~~\mathtt{ou}~~~y=\dfrac{6}{2}$

Simplifique as frações

$y=1~~~\mathtt{ou}~~~y=3$

Então, desfazemos a substituição $y=3^x$ e teremos:

$3^x=1~~~\mathtt{ou}~~~3^x=3$

Aplicamos o logaritmo de base $3$ em ambos os lados das equações

$\log_3(3^x)=\log_3(1)~~~\mathtt{ou}~~~\log_3(3^x)=\log_3(3)$

Sabendo que $\log_3(3^x)=x$,  $\log_3(1)=0$ e $\log_3(3)=1$, temos

$x=0~~~\mathtt{ou}~~~x=1$

Estas são as soluções que procurávamos.

Answer 2

Oie, Td Bom?!

$9 {}^{x} - 4 \: . \: 3 { }^{x} + 3 = 0$

$(3 {}^{2} ) {}^{x} - 4 \: . \: 3 {}^{x} + 3 = 0$

$(3 {}^{x} ) {}^{2} - 4 \: . \: 3 {}^{x} + 3 = 0$

• Substitua $3 {}^{x} = t$ .

$t {}^{2} - 4t + 3 = 0$

$t {}^{2} - t - 3t + 3 = 0$

$t \: . \: (t - 1) - 3(t - 1) = 0$

$(t - 1) \: . \: (t - 3) = 0$

• $t - 1 = 0⇒t =1$

• $t - 3 = 0⇒t = 3$

• Substitua $t = 3 {}^{x}$ .

$3 {}^{x} = 1⇒3 {}^{x} = 3 {}^{0}⇒x = 0$

$3 {}^{x} = 3⇒3 {}^{x} = 3 {}^{1} ⇒ x= 1$

$S = \left \{ 0 \: ,\: 1\right \}$

Att. Makaveli1996