Question

EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Me ajudem nesse exercício pf:
r) 5^x+125.5^-x=30

(não me lembro como faz por substituição)

Answer 1

$5^x+125\cdot5^{-x}=30\\\\ 5^x+125\cdot \dfrac{1}{5^x}=30\\\\ 5^x+ \dfrac{125}{5^x}=30~~(multiplica~os~extremos~por~5^x)\\\\ 5^x\cdot5^x+125=30\cdot5^x\\ (5^x)^2-30\cdot5^x+125=0\\\\ 5^x=y\\\\ y^2-30y+125=0\\\\ \Delta=(-30)^2-4\cdot1\cdot125\\ \Delta=900-500\\ \Delta=400\\\\ y= \dfrac{-(-30)\pm \sqrt{400} }{2}= \dfrac{30\pm20}{2} \begin{cases}y_1= \dfrac{30-20}{2}= \dfrac{10}{2} =5\\\\ y_2= \dfrac{30+20}{2}= \dfrac{50}{2}=25\end{cases}\\\\ 5^x=\dfrac{y_1}{y_2}$

$5^x=5~\Rightarrow ~5^x=5^1~\Rightarrow ~\not5^x=\not5^1~\Rightarrow ~x_1=1\\\\ 5^x=25~\Rightarrow~5^x=5^2~\Rightarrow \not5^x=\not5^2~\Rightarrow~x_2=2\\\\\\ \huge\boxed{\text{S}=\{1,2\}}$